4.9 Равновесие сочлененной системы тел

Рассмотрим теперь задачу на равновесие не одного тела, а системы тел, свободно опирающихся друг на друга или соединенных между собой какими-нибудь связями и находящимися под действием произвольной плоской системы сил или плоской системы параллельных сил. Такую систему тел называют сочлененной системой.

После отбрасывания внешних связей (связи, скрепляющие сочлененную систему с не входящими в нее телами (например, с опорами), называются внешними, в отличие от внутренних связей, соединяющих между собой тела данной сочлененной системы) сочлененная система тел не остается жесткой.

На основании принципа отвердевания система сил, действующая сочлененную систему тел, должна при равновесии удовлетворять условиям равновесия абсолютно твердого тела. Но эти условия, как известно, являясь необходимыми, не будут достаточными, поэтому из них нельзя будет определить всех неизвестных. Для решения задачи на равновесие сочлененной системы тел необходимо будет дополнительно рассмотреть равновесие какого-нибудь одного или нескольких тел этой системы.

Примером сочлененной системы может служить трехшарнирная aрка (рисунок 69), состоящая из двух тел (полуарок) с тремя шарнирами А, В и С, из которых первые два являются неподвижными опорными шарнирами, а третий соединяет эти два тела (полуарки) между собой.

Заметим что если отбросить опоры А и В (внешние связи), то рассматриваемая трехшарнирная арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира С (внутренняя связь).

Пусть на рассматриваемую трехшарнирную арку действует произвольная плоская система сил (на рисунке 69 изображены только две силы иэтой системы). Предположим, что, кроме реакций шарнировА и В, требуется найти неизвестные реакции шарнира С.

Применяя принцип освобождаемости от связей, отбросим мысленно шарнирные закрепления в точках А и В и заменим их действие силами реакций. Модули и направления этих реакций неизвестны. Поэтому необходимо неизвестную по направлению реакцию в каждой из двух шарнирно неподвижных опор А и В разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие ,и,(рисунок 70). Таким образом, для сочлененной системы тел, состоящей из двух полуарок (рисунок 70), можно составить три уравнения равновесия, в то время как число неизвестных сил реакций равно четырем. Однако данная задача является статически определенной. Докажем это утверждение. Для этого рассмотрим равновесие какой-либо полуарки (например, левой, рисунок 71,а). На левую полуарку действует одна активная сила . Отбрасывая мысленно шарниры А и С вместе с правой полуаркой, заменяем их действие силами реакций. Так как реакция в шарнире С также неизвестна по модулю и направлению, то ее тоже необходимо предварительно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие и. Для левой полуарки можно составить три уравнения равновесия, имея при этом только две новые неизвестныеи(последнее объясняется тем, что реакция в шарниреА должна быть представлена двумя ранее выбранными составляющими и). Таким образом, рассматривая равновесие всей трехшарнирной арки в целом и левой полуарки, имеем шесть уравнений равновесия и шесть неизвестных. Эта же задача мот быть решена и другим способом, если рассмотрим равновесие любой полуарки (рисунок 71,б). В этом случае число уравнений равновесия также равно числу неизвестных, так как согласно аксиоме IV и.

Все эти приемы всегда одинаково законны. Вопрос о применении каждого из них решается в зависимости от того, в каком случае уравнения равновесия получаются более простыми.

Изложенный способ решения задач на равновесие сочлененной системы тел называется методом расчленения.

Для сочлененной системы из п тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, методом расчленения можно составить 3п независимых уравнений равновесия, позволяющих найти 3п неизвестных. Однако это вовсе не значит, что при составлении уравнений равновесия для сочлененной системы всегда следует рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Напротив, можно рассматривать и равновесие всей этой системы в целом как одного свободного абсолютно твердого тела или какой-нибудь совокупности тел, входящих в состав сочлененной системы.

Задача 14. На гладкой горизонтальной плоскости стоит переносная лестница, состоящая из двух частей АС и ВС длиной 12 м, весом кГ каждая, соединенных шарниром С и веревкой EF. Расстояние м. Центр тяжести каждой из частей АС и ВС находится в ее середине. В точке D на расстоянии м. стоит человек, весящий кГ. Определить реакции пола и шарнира С, а также напряжение Т веревки EF, если (рисунок 72,а).

Решение. Расчленяя сочлененную систему на две части, рассматриваем равновесие левой и правой половин лестницы в отдельности. Для этого освобождаем каждую часть от внешних и внутренних связей и намечаем реакции связей.

На левую часть лестницы, если ее рассматривать как свободное тело (рисунок 72, б), действуют активная сила , реакции и шарнира С, реакция веревкиEF и реакция горизонтальной плоскости.

Составим уравнения равновесия для левой половины лестницы:

;

;

.

На правую часть лестницы, если ее рассматривать как свободное тело (рисунок 72, в), действуют активные силы и, реакции и шарнира С, реакция веревки EF и реакция горизонтальной плоскости. При этом по аксиомеIV силы и должны быть направлены противоположно и; по модулю же ,. По этой же причине сила .

Составим уравнения равновесия правой половины лестницы:

;

;

,

где

, ,,.

Решая систему этих шести уравнений равновесия, найдем

кГ; кГ; кГ; кГ; кГ

Из полученных результатов видно, что все реакции имеют направления, показа иные на рисунок 73, б, в.

Задача 15. Дана сочлененная с помощью шарнира В система двух тел (рисунок 73, а). Балка АВ имеет заделку в точке А, а балка ВС закреплена в точке С с помощью шарнирно-подвижной опоры. На сочлененную систему действуют силы, равномерно распределенные вдоль прямого отрезка СK, постоянной интенсивности q т/м и пара сил с моментом . Размеры тел указаны на рисунке 73,а. Весом тел пренебречь. Определить реакции опор А и С.

Решение. Рассмотрим равновесие всей данной сочлененной системы в целом как свободного твердого тела.

Для этого заменим распределенные силы сосредоточенными, а также отбросим все внешние связи и заменим их действие на сочлененную систему реакциями связей (рисунок 73, б).

Силы, равномерно распределенные вдоль прямолинейных отрезков KВ и ВС, соответственно заменим равнодействующими и . По модулю и равны

; ,

а приложенные силы и соответственно в середине отрезковKB и ВС.

Таким образом, на сочлененную систему будут действовать заданные вертикальные силы , , заданная пара с моментом m и реакции связей: силы реакции и и реактивная пара с моментом заделки А, а также вертикальная реакция шарнирно-подвижной опоры С.

Всего будет четыре неизвестных ,,,, а независимых уравнений равновесия для их определения можно составить только три. Поэтому данную сочлененную с помощью шарнираВ систему двух тел расчленим по шарниру В, прикладывая к балке ВС в точке В внутреннюю вертикальную силу реакции (рисунок 73, в). Таким образом, на правую часть будут действовать три вертикальные силы , и , из которых первая сила является новой неизвестной.

Составим уравнения равновесия для всей сочлененной системы в целом (рисунок 73, б) в форме

;

;

.

Составим одно уравнение равновесия для балки ВС (рис. ^Й£ в) в форме

.

Отсюда

.

Подставляя во второе и третье уравнения и решая их, находим

; ;.