5.2 Трение качения

Сопротивление, возникающей; при качении одного тела по поверхности другого, называется трением качения.

Предположим, что негладкий цилиндр опирается на негладкую горизонтальную плоскость. Если этот цилиндр находится только под действием своего веса , то деформации цилиндра и опорной плоскости, которая служит связью, будут симметричными относительно линии действия силы(рисунок 78). В этом случае реакции связи, распределенные по площадке контакта цилиндра с этой связью, приводятся к одной равнодействующей силе, равной по модулю и противоположной по направлению силе . При этом цилиндр будет находиться в состоянии относительного покоя, так как сила тяжести уравновешивается нормальной реакцией .

Приложим теперь к цилиндру в точке О силу под углом к горизонту (рисунок 79,а) и будем постепенно увеличивать ее модуль, начиная с . Опыт показывает, что цилиндр сохраняет состояние относительного покоя до тех пор, пока модуль силыне достигнет некоторого максимального значения, зависящего от природы и свойств данной пары соприкасающихся поверхностей. При дальнейшем увеличении модуля силы начнется качение цилиндра по связи.

При действии на цилиндр силы деформации цилиндра и связи не будут уже симметричны относительно линии действия силы. Иначе говоря, сила обусловливает несимметричное распределение сил реакций связи на площадке контакта ее с цилиндром.

При действии силы интенсивность давлений в окрестности точкиА убывает, а в окрестности уточки В возрастает.

Поэтому равнодействующая всех этих сил реакций сместится в сторону возможного движения цилиндра (рисунок 79, а) и будет приложена в точке В. Реакция связи R_B при этом уравновешивает две активные силы и , и линия ее действия проходит через точку О.

Последнее вытекает из теоремы об уравновешивании двух сходящихся сил третьей силой (смотри § 2).

Разложим реакцию на горизонтальнуюи вертикальнуюсоставляющие (рисунок 79,б) и составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил ,, и , действующих на цилиндр в форме

(1)

где r — радиус цилиндра, а d — расстояние, на которое смещается в сторону возможного движения цилиндра нормальная составляющая реакции связи.

Первое и второе уравнения (1) дают модуль силы трения скольжения , препятствующий скольжению цилиндра по связи, и модуль нормальной реакции связи. Третье же уравнение, если его записать в виде

или

,

выражает собой равенство между так называемым моментом трения качения т, препятствующим качению цилиндра по связи, и вращающим моментом.

Пользуясь теоремой о параллельном переносе силы (см. § 17), можно силу перенести параллельно самой себе в точкуА (рисунок 80), приложив при этом к цилиндру пару с моментом, равным моменту трения качения . Тогда результат, полученный на рисунке 79,б, можно условно изобразить в виде рисунка 80. Такое изображение удобно применять при решении задач, так как при этом нет никакой необходимости изображать на чертеже деформацию тел в месте их соприкосновения.

Для простоты предположим, что (рисунок 81), тогда

; ;.

Как показывает опыт, с увеличением модуля силы смещение d также растет, но оно не может превзойти некоторого максимального значения , вполне определенного для данной пары соприкасающихся поверхностей и данной величины нормального давления цилиндра на связь .

При этом, очевидно, будет иметь место неравенство

,

где называетсякоэффициентом трения качения.

Таким образом, условие отсутствия качения цилиндра по связи будет иметь вид

,

откуда

.

Для случая критического (пускового) момента равновесия цилиндра

.

Этой формулой можно пользоваться и для определения модуля горизонтальной силы , при которой начнется качение цилиндра по связи.

Нужно иметь в виду, что, вообще говоря, цилиндр может не только совершать качение по связи, но и скользить по ней.

Условие отсутствия скольжения цилиндра по связи имеет вид

,

где – коэффициент трения скольжения в покое.

Таким образом, если одновременно выполнены условия

и ,

то не произойдет ни скольжения, ни качения цилиндра по связи.

Если

, но ,

то цилиндр будет совершать только качение по связи.

Если

, но ,

то цилиндр будет только скользить по связи.

Если

и ,

то возможно как качение, так и скольжение цилиндра по связи.

Коэффициент трения качения определяется опытным путем и зависит от природы и свойств данной пары соприкасающихся поверхностей (цилиндра и опорной плоскости, которая служит связью). Величина коэффициента трения качениябудет тем меньше, чем тверже цилиндр и связь, т. е. чем меньше их деформация. Коэффициент трения каченияизмеряется в единицах длины — в сантиметрах (см) или миллиметрах (мм).

Сила, требуемая для преодоления трения качения, обычно меньше, чем для преодоления трения скольжения, что видно из сравнения равенств

и ,

так как отношение для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения. Поэтому в современной технике стремятся заменить скольжение качением. Примером может служить замена гладких подшипников шариковыми или роликовыми и т. п.

Задача 17. Определить наименьший угол наклона плоскости к горизонту, при котором ролик радиусасм начнет скатываться по плоскости, если коэффициент трения качения см. Проверить, возникает ли при этом сила трения скольжения, достаточная для осуществления качения ролика без скольжения, если коэффициент трения скольжения (рисунок 82).

Решение. По условию задачи нам необходимо рассмотреть критический (пусковой) момент равновесия ролика, когда момент трения качения т принимает максимальное значение, т. е. .

Отбрасывая связь, заменим ее действие на ролик силами реакции. При этом на ролик, как на свободное твердое тело, будут действовать вес ролика , нормальная реакция наклонной плоскости, которая служит связью, сила трения скольжения , а также момент трения качения т. Рассматривая критическое состояние равновесия ролика под действием этих нагрузок, составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил в форме

; ;.

В данном случае эти уравнения равновесия будут иметь вид

;

;

.

Учитывая, что ;, из второго уравнения получим

.

Тогда третье уравнение примет вид

,

откуда

,

следовательно,

.

Из первого уравнения имеем

,

в то время как максимальная сила трения скольжения

.

Отсюда видим, что условие соблюдается, а поэтому ролик начнет катиться по наклонной плоскости без скольжения.