7.4 Центр тяжести некоторых линий, площадей и объемов

1. Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника АВD (рисунок 118) прямыми, параллельными стороне АD, на большое число узких полосок, которые можно рассматривать как отрезки материальной прямой линии. Центр тяжести каждой такой полоски лежит в ее середине, т. е. на медиане FВ треугольника АВD. Следовательно, и центр тяжести площади треугольника АВD лежит на этой медиане.

Разбив площадь треугольника АВD прямыми, параллельными какой-нибудь другой стороне, например ВD, и рассуждая аналогичным образом, придем к тому, что центр тяжести площади треугольника должен лежать на медиане ЕА. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.

При этом, как известно из геометрии,

. (1)

2. Центр тяжести дуги окружности. Пусть дана дуга АВ окружности радиуса R с центральным углом (рисунок 119). Начало координат возьмем к центре окружности и осьOx направим перпендикуляр к хорде АВ. Очевидно, ось Ox будет осью симметрии для дуги АВ, и, следовательно, центр тяжести дуги окружности АВ лежит на этой оси. Найдем координату способом интегрирования. Для этого выделим на дугеАВ элемент , положение которого определяется углом. Координатах этого элемента будет . Подставляя эти значения в первую из формул (4, §49), находим, чтоцентр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра

, (2)где угол измеряется в радианах.

В частности, для дуги полуокружности () имеем

.

3. Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом (рисунок 120). Разобьем мысленно площадь сектораАОВ радиусами, проведенными из центра О, на элементарные секторы с центральным углом . Эти элементарные секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дугерадиуса . Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ будет совпадать с центром тяжести дуги , положение которого найдется по формуле (2).

Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра.

, (3)где угол измеряется в радианах.

В частности, для сектора в виде полукруга () получим

. (4)

4. Центр тяжести объема пирамиды. Для нахождения центра тяжести пирамиды АВDЕ (рисунок 121) разобьем ее высоту на n равных частей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основанию.

Еслиn неограниченно увеличивать, то каждый из полученных слоев можно рассматривать как треугольник. Центры тяжести площадей этих треугольников лежат на прямой , соединяющей вершину пирамидыЕ с центром тяжести , ее основания. Следовательно, на прямойбудет лежать и центр тяжести всей пирамиды.

Точно так же найдем, что центр тяжести данной пирамиды должен лежать на прямой , соединяющей вершину пирамидыВ с центром тяжести ее граниАDЕ. Поэтому искомый центр тяжести пирамиды лежит в точке С, где пересекаются прямые и.

Определим положение точки С. По свойству медиан треугольников имеем

и;

из этих двух равенств следует, что прямые иВЕ параллельны и

.

Но так как прямые иВЕ параллельны, то треугольники иECB подобны.

Из подобия треугольников иЕСВ следует, что

.

Следовательно,

и,

откуда находим

. (5)

Этот результат будет также справедлив для любой однородной многоугольной пирамиды, а в пределе и для однородного круглого конуса.

Таким образом, центр тяжести объема однородной треугольной пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести ее основания, на расстоянии одной четверти длины этого отрезка от центра тяжести основания пирамиды.

5. Центр тяжести объема полушара. Примем ось симметрии данного однородного полушара радиуса R за ось z, а начало декартовых координат (Охуz) – в геометрическом центре О этого полушара (рисунок 122). Искомый центр тяжести С рассматриваемого полушара лежит на оси симметрии z, поэтому достаточно найти только расстояние . При этом для вычисления искомой координатыприменим третью из формул (2,§49):

, где теперь интегрирование следует распространить по объемуV всего полушара. Объем полушара равен .

Для вычисления этого тройного интеграла воспользуемся сферическими координатами, тогда

;

;

,где r, и 0 – сферические координаты (см. рисунок 122).

Отсюда элемент объема . При этом вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех простых интегралов:

Следовательно,

. (6)

Задача 20. Определить положение центра тяжести площади поперечного сечения неравнобокого угольника, полки которого имеют ширину ,и толщину(рисунок 123).

Решение. Разобьем данную площадь на два прямоугольника. Центры тяжести каждого из прямоугольников лежат на пересечении его диагоналей. Координаты этих центров тяжести, так же как и площади прямоугольников, легко определяются из рисунка 123.

Площади первого и второго прямоугольников

;.

Координаты центра тяжести первого и второго прямоугольников

,;,.

Координаты ицентра тяжести площади поперечного сечения данного неравнобокого угольника определим по формулам:

Задача 21.Определить положение центра тяжести площади круглой пластины радиуса R, с вырезом в виде прямоугольника со сторонами a и b (рисунок 124).

Решение. Так как пластина с вырезом имеет ось симметрии, то ее центр тяжести лежит на этой оси. Выбираем начало координат в точке О (рисунок 124) и направляем ось Ох по оси симметрии. Для нахождения координаты центра тяжести площади пластины с вырезом дополняем площадь этой пластины до полного круга.

Площадь полного круга; центр тяжести этого крута совпадает с началом координатО, следовательно, абсцисса этого центра .

Площадь вырезанного прямоугольника ; абсцисса центра тяжести площади этого прямоугольника.

Применяя первую из формул (1, §49), найдем абсциссу центра тяжести площади данной круглой пластины с вырезом:

.

Задача 22. Определить положение центра тяжести площади кругового сегмента АDВ радиуса R, если угол (рисунок 125).

Решение. Так как круговой сегмент имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси. Примем эту ось за ось х.

Начало координат возьмем в точке О (рисунок 125). Для нахождения координаты центра тяжести площади кругового сегмента АDВ дополним эту площадь до площади кругового сектора ОАDВ.

Площадь треугольника АОВ определим по формуле

; абсцисса ее центра тяжести х₁ = (2/3) ОЕ = (2/3) Rcosα .

Площадь кругового сектора ОАDВ определим по формуле ; абсцисса ее центра тяжести.

Применяя первую из формул (1, §49), найдем абсциссу центра тяжести площади данного кругового сегмента АDВ: