7.3 Способы определения координат центров тяжести тел

1. Способ симметрии. Докажем, что если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести этого тела лежит соответственно или в плоскости, или на оси, или в центре симметрии.

Допустим, например, что однородное тело имеет плоскость симметрии. Проведем и этой плоскости оси Ох и Оу (рисунок 117). Вследствие симметрии всякой частице тела с координатами (,,) соответствует частицатого же объемас координатами (,,). Поэтомуи, согласно последней из формул (4, §48),, т. е. центр тяжести однородного тела лежит в плоскости симметриихОу.

Аналогичное доказательство можно применить и в случаях, когда тело имеет ось или центр симметрии.

Следствия. 1. Центр тяжести отрезка материальной прямой линии лежит в его средине.

2. Центр тяжести круглого кольца, круглой или прямоугольной пластинки, площади правильного многоугольника и эллипса, объема прямоугольного параллелепипеда и шара и других тел, имеющих центр симметрии, лежит в их геометрических центрах (в центрах симметрии).

2. Способ разбиения. Этот способ применяется для определения центра тяжести тел сложной геометрической формы. Общий прием определения центра тяжести таких тел состоит в том, что данное тело разбивают на конечное число частей простейшей геометрической формы (если это, конечно, возможно), для каждой из которых положение центра тяжести известно или оно сравнительно легко может быть найдено. Тогда координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (4, 5, 6, §48). (Рассматриваются однородные тела, фигур и линии) понимая в этих формулах под ,иобъемы, площади и длины частей, на которые разбито данное тело, фигура или линия, а под,,– координаты центров тяжести этих частей.

3. Способ дополнения. Этот способ, являясь частным случаем способа разбиения, применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без вырезов и вырезанных частей известны.

Пусть, например, требуется найти центр тяжести тела, представляющего собой плоскую фигуру с n вырезами.

При определении центра тяжести фигуры с вырезами пользуются теми же формулами (5, §48), считая в Них площади вырезанных частей отрицательными.

Обозначив эти площади через ,, …,, а через;, …,– координаты их центров тяжести, будем иметь для определения координат центра тяжести данной плоской фигуры сn вырезами следующие формулы:

(1)где – площадь фигуры без вырезов, а,– координаты ее центра тяжести.

4. Способ интегрирования. Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центров тяжести которых известно или легко найти, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемы для которых формулы (4, §48) примут вид

;;,

где ,,– координаты некоторой точки, лежащей внутри объема.

Переходя к пределу и предполагая, что число элементарных частиц, из которых состоит тело, неограниченно возрастает, а объем , каждой такой частицы стремится к нулю, будем иметь

;;, (2)где – объем рассматриваемого тела. Здесь интегралы распространены по объему всего тела.

Подставляя формулы (5, §48) и переходя к пределу, мы получим аналогично координаты центра тяжести плоской фигуры

;, (3)где – площадь рассматриваемой фигуры. Здесь интегралы распространены по площади всей фигуры.

Подставляя , в формулы (6, §48) и переходя к пределу, получим совершенно аналогично координаты центра тяжести материальной линии:

;;, (4)где – длина всей рассматриваемой линии. Здесь интегралы распространены по длине всей линии.