9. Повторение опытов. Формула Бернулли

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты производятся многократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появления события А в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, то как правило интересен не результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В подобных задачах требуется уметь определить вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов.

Рассмотрим решение задачи о повторении испытаний при условии, что опыты являются независимыми. Под независимыми опытами будем понимать такие, что вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Постановка задачи. Производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А. Вероятность появления события А в каждом опыте равна p, а вероятность непоявления q=1-p. Требуется найти вероятность Р_n(m) того, что событие А в этих n опытах появиться m раз.

Рассмотрим B_m, состоящее в том, что событие А появится в n опытах ровно m раз. Это событие может осуществиться различными способами.

Разложим событие В_m на сумму произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события А в отдельном опыте. Будем обозначать А_i появление события А в i-том опыте; - непоявление события А в i-том опыте.

Каждый вариант появления события В_m (каждый член суммы) должен состоять из m появлений события А и n – m непоявлений, т.е. из m событий А и n – m событий с различными индексами. Т.о.,

,

Причем в каждом произведение событие А должно входить m раз, а должно входить n – m раз.

Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в которых произошло событие А. Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умножения для независимых событий, равна . Так как комбинации между собой несовместны, то, по теореме сложения, вероятность события В_m равна

.

Сформулируем теорему о повторении независимых опытов. Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью p, то вероятность того, что событие А в этих n опытах появиться m раз выражается формулой

, (9.1)

где q = 1 – p .

Формула (9.1) носит название формулы Бернулли.

Задача. Вероятность поражения мишени стрелком при выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах стрелок поразит мишень 3 раза.

Решение. .

Исследуем вопрос о том, как ведёт себя при изменении m и фиксированном n:

.

Для тех значений m, для которых это отношение меньше единицы, величина увеличивается с увеличением m. Решая относительно m неравенство

,

получим

.

Таким образом, при с ростом m растет . Это значит, имеет наибольшее значение либо при m=[m₀], либо при m=[m₀]+1.

Поскольку около числа np находятся те значения m, при которых имеет максимальное значение, то это число называют наиболее вероятным числом опытов, в которых произойдет интересующее нас событие.

Задача. Найти наивероятнейшее число наступления события в 19 независимых испытаниях, если в каждом испытании вероятность наступления события равна 0,2.

Решение. np – q = 3,8 – 0,8 = 3. Наивероятнейшее число наступления события равно либо 3, либо 4.