logo
Konspekt_lektsy

10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона

Очевидно, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий с очень большими числами. Например, если n = 50, а m = 30, то при р = 0,1 для отыскания вероятности надо вычислить 50!, 30!, 20!, 0,130, 0,920. Но 50!=30 414 093 ∙ 1057, 30! = 26 525 286 ∙ 1025, 20!= 24 329 020 ∙ 1011. Вычисления можно упростить, применяя таблицы логарифмов факториалов, но недостаток в этом случае состоит в том, что таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности и в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Решить проблему позволяет локальная теорема Лапласа, которая даёт асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность того, что событие в n опытах появиться m раз при условии, что вероятность появления события в каждом опыте одна и та же. Для частного случае при р=0,5 асимптотическая формула была найдена в 1730 году Муавром, а в 1783 году Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного значения р, отличного от 0 и 1.

Локальная теорема Муавра-Лапласа формулируется следующим образом:

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А в n опытах появится m раз выражается формулой

, (10.1)

где .

Формула (10.1) тем точнее, чем больше n.

Задачи.

    1. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок попадёт в мишень 75 раз при условии, что при одном выстреле он попадает в мишень с вероятностью 0,75.

    2. Та же задача, только производится 10 выстрелов, ожидается 8 попаданий.

Решение.

1. ; ; ; . Формула Бернулли приводит к такому же результату.

2. , ;

. . Формула Бернулли приводит к иному результату, а именно . Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере n имеет малое значение.

Если вероятность наступления события А близка к 0, а n – велико, то применение локальной формулы Муавра-Лапласа приводит к большой погрешности. В этом случае пользуются формулой Пуассона

,

где .

Задача. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Какова вероятность того, что из 1000 деталей 5 будут нестандартными?

Решение. .