Геометрическая вероятность

К лассическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Для того чтобы преодолеть этот недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Допустим, что на плоскости задана квадрируемая область G, т.е. область, имеющая площадь S_G. В области G содержится область g площади S_g. В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и независящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – «попадание брошенной точки в область g», тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:

.

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g, а меру области G – через mes G; пусть также А – событие «попадание брошенной точки в область g, которая содержится в области G». Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой

.

Задача. В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт в квадрат?

Решение. Пусть радиус круга равен R, тогда площадь круга равна . Диагональ квадрата равна , тогда сторона квадрата равна , а площадь квадрата равна . Вероятность искомого события определяется как отношение площади квадрата к площади круга, т.е. .