logo
Konspekt_lektsy

Свойства математического ожидания

  1. Математическое ожидание постоянной случайной величины равно самой величине, т.е. если с=const, то M(с)=с.

В самом деле, ряд распределения постоянной случайной величины таков:

Х

с

с

…

с

P

p1

p2

pn

.

  1. Математическое ожидание суммы двух независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин. Здесь под независимыми случайными величинами будем понимать такие случайные величины, что закон распределения одной величины не зависит от того, какое значение принимает другая случайная величина.

Учтем, что суммой двух независимых случайных величин является случайная величина, возможные значения которой равны суммам возможных значений случайных величин – слагаемых, а вероятности их - произведению вероятностей возможных значений слагаемых. Формулу М(X + Y) = М(X) + М(Y) можно доказать, непосредственно сравнивая вычисленные по определению М(X +Y) и М(X) + М(Y).

Допустим, что законы распределения Х и Y имеют вид:

Х

х1

х2

P

р 1

p2

Y

у1

у2

P

q1

q2

Тогда закон распределения Х + Y представляется так:

Х+Y

х1+ у1

х1+ у2

х2 + у1

х2 + у2

P

р1q1

p1 q2

p2 q1

p2 q2

  1. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: М(XY) = М(X) М(Y).

Произведением двух независимых случайных величин является случайная величина, возможные значения которой равны произведениям возможных значений случайных величин – сомножителей, а вероятности их – произведению вероятностей возможных значений сомножителей.

Замечание: Свойства 2 и 3 можно распространить на любое число случайных величин.

  1. Постоянный сомножитель можно выносить за знак математического ожидания: М(сх) = сМ(х), если с = const..

  1. Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

В самом деле, ряд распределения случайной величины Х – числа появления события в одном испытании имеет вид:

Х

0

1

P

1 – р

p

Очевидно, что М(х) = р.

  1. Математическое ожидание числа появлений события в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании, при условии, что вероятность появления события в каждом испытании одинакова, т.е. M(x)=np.

В с.д., пусть Х – число появлений события в n независимых испытаниях, оно складывается из числа появления события в отдельных испытаниях:

Х = Х1 + Х2 + … + Хn,

где Хi – число появлений события в i-том испытании. В этом случае М(Х) = М(Х1 + Х2 + … + Хn) = М(Х1) + М(Х2)+ … + М(Хn) = nМ(Х1) = = np.

Таким образом, доказан факт: математическое ожидание частоты появления события в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании, при условии, что вероятность появления события в каждом испытании одинакова.

До сих пор рассматривалось математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание выражается не суммой, а интегралом:

,

где р(x) – плотность распределения величины Х.

Свойства 1 – 4 математического ожидания дискретной случайной величины естественным образом распространяются и на непрерывные с.в.