11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях

Достаточно часто при решении задач требуется найти вероятность того, что некоторое событие произойдет число раз, заключенное в некоторых пределах. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача. Вероятность поражения мишени стрелком при выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 3 раз.

Решение. Найдем вероятности того, что стрелок при четырех выстрелах поразит мишень 0, 1, 2, 3 раза:

;

;

;

.

Вероятность того, что при 4 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 3 раз выражается так: .

Искомую вероятность можно было найти по-другому:

.

В том случае, когда число испытаний достаточно велико для нахождения вероятности того, что некоторое событие произойдет число раз, заключенное в некоторых пределах, пользуются интегральной формулой Муавра-Лапласа:

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А в n опытах появится число раз, заключенное в пределах от a до b выражается формулой

, (11.1)

где , , - функция Лапласа.

Формула (11.1) тем точнее, чем больше n.

Замечания:

1. Табличные значения функции Лапласа приводятся в любых учебниках по теории вероятностей.

2. Ф(−х)=−Ф(х).

3. При х>5 Ф(х)=0,5.

Задача. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных мальчиков будет от 455 до 555 включительно, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

Решение. В данной задaче a=455, b=555, p=0,515, q=0,485, n=1000.

Согласно интегральной формуле Муавра-Лапласа имеем:

В некоторых задачах придётся находить вероятность того, что число наступления события А будут заключено в границах: левая а меньше, а правая b больше числа np на одно и то же число r, т.е. a = np – r , b = np + r.

т.е.

(11.2)

В свою очередь из формулы (11.2) можно получить формулу для нахождения - вероятности того, что абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности этого события p в n независимых испытаниях не превзойдет данного положительного числа ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна.

Для этого обе части неравенства умножим на n, получим: .

Таким образом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности этого события p в n независимых испытаниях не превзойдет данного положительного числа ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна выражается формулой

, (11.3)

где .

С помощью формулы (11.3) можно также находить и наименьшее число n испытаний, необходимых для того, чтобы с заданной вероятностью β отклонение частоты события А от вероятности его p по абсолютной величине не превзошла ε, если вероятность наступления события А в каждом испытании равна p.

Задача. Доля тяжёлых частиц в космическом излучении составляет в среднем 15%. Какое наименьшее число космических частиц должно быть зарегистрировано, чтобы с вероятностью 0,996 отклонение доли тяжёлых среди них от вероятности частицы быть тяжёлой не превзошло бы по абсолютной величине 0,04.

Решение. В данной задaче p=0,15, q=0,85, . Необходимо найти n. Имеем уравнение

,

или ,

или .

Решение последнего уравнения является n = 661. Это значит, что n = 661 – наименьшее число космических частиц должно быть зарегистрировано, чтобы с вероятностью 0,996 отклонение доли тяжёлых среди них от вероятности частицы быть тяжёлой не превзошло бы по абсолютной величине 0,04, т.е. будет заключено от 0,11 до 0,19.