Konspekt_lektsy

46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз

В п. 29 – 32 были даны определения теоретического коэффициента корреляции и коррелированных величин, перечислены свойства коэффициента корреляции.

Точечной оценкой теоретического коэффициента корреляции является выборочный коэффициент корреляции , который находится по формуле:

где и – выборочные средние; , – выборочные средние квадратические отклонения переменных Х и Y соответственно; – выборочное среднее значение переменной .

Можно показать, что выборочный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами теоретического коэффициента корреляции, т.е.

1. Для любых переменных Х и Y абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. ;

Если Х и Y независимы, то = 0;
Абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице тогда и только тогда, когда между переменными Х и Y существует линейная связь, т.е. , где и b – некоторые постоянные величины. При этом = 1, если a>0, и = -1, если a<0.

В силу всего сказанного выше, можно заключить, что изучение вида линейной зависимости между переменными Х и Y имеет смысл лишь тогда, когда величина значима или существенна, т.е. не очень близка к нулю. Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность, то заключение о тесноте линейной зависимости между переменными, полученное по выборочным данным, в известной мере может быть распространено и на генеральную совокупность. Для достижения этой цели может быть использован критерий, основанный на распределении Стьюдента.

Для оценки достоверности коэффициента корреляции проверяется гипотеза Н₀ об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности (против альтернативной гипотезы, состоящей в том, что зависимость между Х и Y значима), т.е. Н₀: , по следующей схеме:

Вычисляется статистика отклонения выборочного коэффициента корреляции от генерального коэффициента корреляции , где n – число наблюдений;
По таблице критических точек распределения Стьюдента на уровне значимости и при числе степеней свободы находим значение ;
Если не выполняется неравенство , гипотеза Н₀ отвергается, т.е. выборочный коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, что свидетельствует о достоверности коэффициента корреляции.

Задача. Выборочный коэффициент корреляции между переменными Х и Y при числе наблюдений n = 50 оказался равным 0,74. Оценить достоверность коэффициента корреляции на 5% уровне значимости.

Решение. Найдем статистику критерия по формуле :

Для уровня значимости и числа степеней свободы , находим критическое значение статистики . Поскольку , то коэффициент корреляции достоверен на 5% уровне значимости.

Как было отмечено в п. 32, при линейной зависимости между переменными Х и Y уравнение регрессии Y на Х представляет собой прямую

где а и b – неизвестные коэффициенты.

Исходя из выборочных данных, методом наименьших квадратов находят следующие оценки неизвестных коэффициентов уравнения:

где , , , , r определяются формулами, приведенными в предыдущих разделах.

Оценкой теоретической прямой регрессии является выборочная прямая регрессии

Чтобы подчеркнуть, что речь идет о выборочном условном среднем, прямую, определяемую последним уравнением, обозначают .

Точность линейной аппроксимации выборочных данных визуально можно оценить, сравнив поле рассеяния с графиком выборочной прямой регрессии.

Наилучший точечный линейный прогноз среднего значения зависимой переменной Y при любом фиксированном значении независимой переменной Х = х₀ задается при помощи выборочного уравнения регрессии Y на Х:

Задача 2. В детской поликлинике была собрана следующая информация о связи между временем реакции ребенка Y и его возрастом (в месяцах) X:

Возраст (мес.)	1	2	3	4
Время реакции (сек)	1,5	0,8	0,5	0,4

Используя полученные данные, необходимо вычислить выборочный коэффициент корреляции, проанализировать степень тесноты и направление связи между изучаемыми переменными. Предскажите время реакции ребенка в возрасте 4,5 месяца.

Решение. По данным таблицы найдем выборочные средние и среднее квадратические отклонения переменных Х и Y:

Вычислим выборочное среднее значение величины :

Выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле:

Полученное значение выборочного коэффициента корреляции показывает, что между переменными Х и Y существует достаточно тесная связь, близкая к линейной. Поскольку , то эта связь убывающая, т.е. по мере увеличения возраста, уменьшается время реакции ребенка.

Выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х будем искать в виде:

и в данной задаче оно таково:

Подставляя в последнее соотношение значение х = 4,5 (мес.), найдем ожидаемое время реакции ребенка:

(сек).

Содержание