21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма

Найдем функцию распределения случайной величины Х, подчиненной нормальному закону распределения:

,

сделаем в интеграле замену и приведем его к виду:

.

Интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или . Выразим функцию через функцию Лапласа Ф(х):

.

Вероятность попадания случайной величины Х на участок (α, β) выражается формулой:

.

С помощью последней формулы можно оценить вероятность отклонения нормальной случайной величины от своего математического ожидания на заранее заданную сколь угодно малую положительную величину ε:

,

То есть

.

Пусть , тогда и . При t=3 получим , т.е. событие, заключающееся в том, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания, будет меньше , является практически достоверным.

В этом состоит правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина отклонения ее значений от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Задача. Пусть диаметр изготовляемой цехом детали является случайной величиной, распределенной нормально, m = 4,5 см, см. Найти вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от ее математического ожидания не более, чем на 1 мм.

Решение. Данная задача характеризуется следующими значениями параметров, определяющих искомую вероятность: , , Ф(0,2)=0,0793,