27. Зависимые и независимые случайные величины

При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами может быть настолько тесной, что, зная значение одной случайной величины, можно в точности указать значение другой величины. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми.

Понятие о независимых случайных величинах – одно из важнейших понятий теории вероятностей.

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины Х, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина Х. Т.о., для непрерывных случайных величин справедливы

Таким образом, если система случайных величин (Х, Y) характеризуется плотностью p(x, y), то условие независимости составляющих Х и Y формулируется так:

Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих, т.е.

.

Сформулируем необходимое и достаточное условие независимости составляющих Х и Y в другой форме.

Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих, т.е. .

Докажем необходимость. Поскольку случайные величины Х и Y независимы, то события X<x и Y<y – также независимы, следовательно, Р(X<x, Y<y) = Р(X<x)Р(Y<y), что в свою очередь означает, что .

Докажем достаточность. , т.е. Р(X<x, Y<y) = = Р(X<x)Р(Y<y), что означает, что вероятность совмещения событий X<x и Y<y равна произведению вероятностей этих событий, следовательно, Х и Y независимы.