8. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Следствием теоремы умножения вероятности и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез или формула Бейеса.

Допустим, что имеется полная группа неизвестных гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Н_n). Произведен опыт, в результате которого появилось событие А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Найти условную вероятность позволяет формула Бейеса (теорема гипотез):

.

В с.д., из теоремы умножения имеем:

.

Приравнивая правые части, имеем: , откуда

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем

.

Задача. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. Обозначим событие А – «в мишени обнаружена пробоина». До опыта возможны следующие гипотезы:

Н₁ – «ни первый, ни второй стрелок не попадают»;

Н₂ – «оба стрелка попадут»;

Н₃ – «первый стрелок попадёт, а второй не попадёт»;

Н₄ – «первый стрелок не попадёт, а второй попадёт».

Вероятности гипотез:

;

;

;

.

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

, , , .

После опыта гипотезы Н₁ и Н₂ становятся невозможны, а вероятности гипотез Н₃ и Н₄ будут равны:

; .