logo
Konspekt_lektsy

25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему

Функция распределения существует для любых систем случайных величин: непрерывных и дискретных. Наибольшее практическое значение имеют системы непрерывных случайных величин. Распределение системы непрерывных величин обычно характеризуют не функцией распределения, а плотностью распределения.

Плотность распределения для одной случайной величины определялась как предел отношения вероятности попадания на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении. Аналогично определяется плотность распределения системы двух случайных величин.

Допустим, что система непрерывных случайных величин (X, Y) характеризуется функцией распределения , которая является непрерывной и дифференцируемой функцией. Функция р(x, y), задаваемая равенством

,

называется плотностью распределения системы.

Геометрически функцию можно изобразить некоторой поверхностью, которая называется поверхностью распределения.

Свойства плотности распределения:

  1. р(x, у)0, т.е. является неотрицательной функцией, в с.д., F(x, у) – неубывающая функция;

  2. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область D выражается формулой ;

  3. ;

  4. . В с.д., указанный интеграл есть вероятность попадания случайной точки на всю плоскость хОу, т.е.вероятность достоверного события. Геометрически это свойство означает, что объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью хОу, равен единице.

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин. В частности, выше было показано, что выражения для функций распределения составляющих имеют вид:

, .

Выразим плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, через плотность распределения системы. Для этого сначала выразим функции распределения составляющих системы через плотность распределения системы. В частности, для составляющей Х имеем:

.

Продифференцируем полученное равенство по х, получим выражение для плотности распределения составляющей х:

.

Аналогично

.

Таким образом, для того чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему, нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой составляющей.