2.8. Момент силы относительно точки. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

1. Момент силы относительно точки. Понятие момента силы возникло в связи с определением вращательного действия силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную точку или неподвижную ось.

Представим себе твердое тело, имеющее в точкеО сферическую опору (рисунок 39, а, б). Рассмотрим силу , приложенную в точкеА этого тела. Очевидно, что сила будет поворачивать тело вокруг неподвижной точкиО. Длина перпендикуляра d, опущенного из точки О на линию действия силы , называется плечом этой силы относительно точкиО. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 1) от модуляF силы и длины плечаd; 2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через точку О и силу ; 3) от направления поворота в этой плоскости.

Ограничимся здесь пока рассмотрением плоской системы сил, т. е. когда линии действия сил системы расположены в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил системы является обшей и в дополнительном задании не нуждается, а направление поворота в этой плоскости можно охарактеризовать соответствующим знаком, считая поворот вокруг точки О против хода часовой стрелки положительным, а в направлении противоположном – отрицательным.

Тогда для количественного измерения вращательного эффекта силы можно ввести следующее понятие о моменте этой силы относительно некоторой точкиО на плоскости: моментом силы относительно некоторой точки О на плоскости называется скалярная величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо относительно этой точки. При этом будем считать, что момент силы относительно точкиО имеет знак «плюс», если эта сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки (рисунок 39, а), и знак «минус»,— если по ходу часовой стрелки (рисунок 39, б).

Момент силы относительно точкиО будем обозначать символом . Следовательно,

. (1)

Заметим, что момент силы относительно точки О можно принимать за скалярную (алгебраическую) величину лишь в тех случаях, когда имеем дело с плоской системой сил. В случае же пространственной систем сил, т. е. когда линия действия всех сил системы расположены в различных непараллельных плоскостях, правило знаков момента силы относительно точки теряет свои силы.

Таким образом, мы установили, что момент силы относительно точки О сил плоской системы отличаются друг от друга численным значением и знаком. При этом численное значение момента сил относительно точки О равно произведению модуля силы на длину ее плеча относительно этой точки.

Отметим в заключение, что геометрически численное значение момента силы относительно точкиО выражается удвоенной площадью треугольника OAB (рисунок 40), вершиной которого является данная точка О, а основанием – данная сила :

. (2)

Единица момента силы определяется по формуле (1), или .

Положив в этой формуле F = 1 кг, d = 1 м, получим:

1 единица момента сил

Размерность единицы момента силы в системе МКГСС

.

Если же модуль силы выражен в ньютонах (F = 1 H), а длина плеча в метрах (d = 1 м), то, очевидно, размерность единицы момента в системе СИ выражается в виде

.

Отметим теперь следующие свойства момента силы относительно точки:

1. Момент силы относительно точки не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия, так как при этом не изменяется ни модуль силы, ни длина ее плеча.

2. Момент силы относительно точки равен нулю только тогда, когда модуль силы равен нулю или когда линия действия силы проходит через точку, так как в этом последнем случае длина плеча равна нулю

2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Докажем теперь следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторой точки, лежащей в плоскости сил, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки.

Рассмотрим плоскую систему сходящихся сил ,, ..., , приложенных в точке А твердого тела (рисунок 41). Их равнодействующая будет приложена в той же точке. По теореме о проекции равнодействующей на ось получим .Умножая обе части этого равенства на ОА, получим

. (3)

Преобразуем эту формулу, для чего найдем момент относительно точки О любой из сил системы, например силы . Очевидно,

, (4)

где — проекция силы на ось Ох, перпендикулярную к ОА.

Согласно формуле (4) можно преобразовать формулу (3) к виду

. (5)

Эта формула и дает математическое выражение теоремы Вариньона о моменте равнодействующей.