7. Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теоремы – теоремы сложения и теоремы умножения вероятности – является формула полной вероятности.

Допустим, что некоторое событие А может произойти вместе с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу случайных событий. Поскольку заранее неизвестно, с каким именно из Н₁, Н₂, …, Н_n произойдёт событие А, то Н₁, Н₂, …, Н_n называются гипотезами.

Вероятность события А в этом случае вычисляется по формуле полной вероятности

.

В с.д., так как гипотезы Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из гипотез:

А=АН₁+А Н₂+ …+А Н_n.

Так как гипотезы Н₁, Н₂, …, Н_n несовместны, то и комбинации АН₁, АН_2, …, АН_n также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

.

Применяя к событиям АН₁, АН_2, …, АН_n теорему умножения, получим:

.

Задача. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один чёрный шар; во второй – три белых и один чёрный; в третьей – два белых и два чёрных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим событие А – «появление белого шара» и три гипотезы:

Н₁ – «выбор первой урны»;

Н₂ – «выбор второй урны»;

Н₃ – «выбор третьей урны».

По условию задачи гипотезы равновозможны, т.е. . Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

, , . По формуле полной вероятности имеем:

.