36.1 Эмпирическая функция распределения

Из теории вероятностей известно, что одной из форм закона распределения случайной величины Х (случайного признака Х) является ее функция распределения . Определим выборочный (статистический) аналог функции .

Эмпирической функцией распределения называется функция

,

где - число элементов выборки , значения которых меньше х.

В отличие от эмпирической (построенной по эмпирическим или выборочным данным) функции функцию называют теоретической (или генеральной) функцией распределения.

Построение эмпирической функции распределения удобно производить с помощью группированных данных, представленных статистическим рядом (дискретным или интервальным). Функция постоянна на промежутках (при i = 1, 2, …, k) для дискретно группированных данных или на промежутках для интервально группированных данных, а в концевых точках увеличивается на относительную частоту , i = 1, 2, …, k−1:

Эмпирическая функция распределения определена однозначно для всех х ( ) и обладает всеми свойствами функции распределения: изменяется от 0 до 1, не убывает и непрерывна слева. Она играет фундаментальную роль в математической статистике. Важнейшее ее свойство состоит в том, что при увеличении числа наблюдений n над признаком Х происходит сближение эмпирической функции с теоретической функцией распределения , т.е.

при любом сколь угодно малом .

Задача. По данным задачи п.35 построить эмпирическую функцию распределения.

Решение. Значения функции распределения приведены ниже.