33. Центральная предельная теорема

В предыдущем пункте были приведены предельные теоремы, устанавливающие сходимость по вероятности последовательностей случайных величин и носящие общее название закона больших чисел. В настоящем пункте рассматривается другая группа предельных теорем, устанавливающих сходимость законов распределения для последовательностей сумм с.в. к нормальному закону. Эта группа теорем носит название центральной предельной теоремы. Приведем одну из теорем этой группы.

Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией формулируется следующим образом.

Если Х₁, Х₂, …, Х_n – одинаково распределенные с.в. с конечной дисперсией, М(Х_k) = m, при k = 1, 2, …, n , , то

,

где .

Смысл приведенной выше теоремы состоит в том, что для независимых одинаково распределенных с.в. Х₁, Х₂, …, Х_n с конечной дисперсией закон распределения суммы при достаточно большом числе слагаемых является приближенно нормальным с параметрами и , т.е. функция распределения равна

,

где - функция Лапласа.

Задача. Чтобы проложить телефонный кабель между пунктами Аи В, необходимо вырыть траншею длиной 1,5 км. Длина траншеи, которую может вырыть экскаватор за смену, является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [50 м, 60 м]. Сколько смен должен проработать экскаватор, чтобы с вероятностью не меньшей 0,99 можно было бы утверждать, что траншея будет вырыта полностью?

Решение. Пусть – длина траншеи, вырываемой экскаватором за k-ю смену, k = 1, 2, …, n. Можно считать, что Х₁, Х₂, …, Х_n независимы, а по условию они равномерно распределены на отрезке [50 м, 60 м]. Используя формулы для математического ожидания и дисперсии равномерного распределения, находим

; ; .

Положим, что – длина траншеи, вырываемой экскаватором за n смен работы. Требуется найти минимальное n, удовлетворяющее неравенству .

В силу приближенной нормальности с параметрами и ее функция распределения имеет вид:

.

С учетом того, что , предыдущее соотношение может быть приближенно заменено неравенством

или

.

Отсюда с помощью таблицы значений функции Лапласа получаем

или

.

Разрешая последнее неравенство относительно , находим, что , откуда . Значит с вероятностью, не меньшей 0,99, можно утверждать, что траншея может быть вырыта не менее чем за 39,5 смены.

Центральная предельная теорема имеет место также при некоторых условиях и для неодинаково распределенных независимых с.в., и для зависимых с.в. Смысл этих условий состоит в равномерной малости вклада в сумму каждого слагаемого.