24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник

Ф ункцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X<x, Y<y:

.

Если пользоваться для геометрической интерпретации системы образом случайной точки, то функция распределения есть вероятность попадания случайной точки (X, Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х, у) (см. рисунок).

Свойства функции распределения системы случайных величин:

1. При любых значениях х и у , так как представляет собой вероятность.

2. есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т.е. при х₂>x₁ , а при у₂>у₁ . В этом свойстве легко убедиться, пользуясь геометрической интерпретацией функции распределения как вероятности попадания в квадрант с вершиной в точке (х, у). Действительно, увеличивая х (смещая правую границу квадранта вправо) или увеличивая у (смещая верхнюю границу вверх), мы не можем уменьшить вероятность попадания в этот квадрант.

3. Если хотя бы один из аргументов стремится к минус бесконечности, то , т.е. . В самом деле соответствующие вероятности как вероятности невозможных событий.

4. Если ровно один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: т.е. , , где и - соответственно функции распределения случайных величин Х и У. В самом деле, вероятности и перестают зависеть от аргументов у и х соответственно.

5. Е сли оба аргумента равны плюс бесконечности, то функция распределения равна единице: . В самом деле, как вероятность достоверного события.

Вероятность попадания случайной точки в полубесконечную полосу, изображенную на рисунке слева .

Вероятность попадания случайной точки в полубесконечную полосу, изображенную на рисунке слева .

В ероятность попадания случайной точки в прямоугольник, изображенный на рисунке слева