39. Интервальное оценивание параметров распределения

Выше были рассмотрены точечные оценки параметров генеральной совокупности, т.е. параметров распределения исследуемого признака Х. Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного параметра и используются в тех случаях, когда нужно назвать некоторое число вместо неизвестного параметра .

За исключением редких случаев точное определение неизвестного параметра по выборке невозможно. При замене параметра его оценкой возникает вопрос: как сильно может отклониться это приближенное значение (оценка) от истинного значения ? В частности, нельзя ли указать такую величину , которая бы с заданной вероятностью , близкой к единице, гарантировала бы выполнение неравенства ? Другими словами, нельзя ли указать такой интервал , который с заранее заданной вероятностью «накрывал » бы неизвестное нам истинное значение параметра ?

Заранее выбираемая исследователем вероятность называется доверительной вероятностью или надежностью, а интервал - доверительным интервалом или интервальной оценкой параметра . На практике обычно используют значения доверительной вероятности из небольшого набора достаточно близких к единице значений, например, = 0,9; 0,95; 0,99 и т.д.

Доверительный интервал имеет случайные границы. Действительно, для разных выборок одного и того же объема получаем различные значения , т.е. величина имеет случайное рассеивание. Величина , называемая точностью оценки, также имеет случайный характер.

В данном случае речь идет о вероятности накрыть доверительным интервалом некоторую неизвестную исследователю, но неслучайную точку .

Определяющее доверительный интервал для неизвестного параметра равенство означает следующее. По заданной доверительной вероятности и имеющимся выборочным данным находятся точечная оценка и точность оценки параметра . Затем объявляется, что неизвестное нам значение параметра лежит внутри интервала , т.е. . Поступая таким образом, мы будем ошибаться в длинном ряду наблюдений примерно всех случаев. Например, если = 0,95, то ошибочное решение будет приниматься примерно 5 раз на 100 случаев.

Нахождение оценок характеристик распределения обычно называют точечным оцениванием, а нахождением доверительных интервалов - интервальным оцениванием. Отличие интервального оценивания от точечного и специфика интервального оценивания состоит в следующем:

• доверительный интервал как оценка менее «точен», так как указывается целое множество возможных значений ;

• утверждение « с вероятностью » является истинным, а событие « = » является, как правило, невозможным;

• чем короче доверительный интервал для оценки некоторой характеристики, тем он точнее;

• длина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n – она уменьшается с увеличением n и от величины доверительной вероятности - она увеличивается с приближением к единице.