12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения

Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.

Случайной величиной (с.в.) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно, какое именно.

Случайные величины

Обозначение с.в.: Х, Y, Z,…, возможные значения: соответствующие малые буквы. Например, Х – число попаданий при двух выстрелах; х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2.

Рассмотрим дискретную с.в. Х с возможными значениями х₁, х₂, …,х_n. Каждое из этих значение возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т.е. события

Х=х₁, Х=х₂, … Х=х_n

образуют полную группу случайных событий.

Обозначим Р(Х=х_i)=р_i при i=1..n, тогда .

Эта суммарная вероятность распределена между отдельными значениями. Случайная величина полностью описана, если указано, какой вероятностью обладает каждое из событий указанной полной группы случайных событий.

Законом распределения с.в. называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями с.в. и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной с.в. представляется в форме таблицы, называемой рядом распределения:

Для наглядной интерпретации ряда распределения служит многоугольник распределения – ломаная, последовательно соединяющая точки с координатами (х_i, р_i).

Задачи. 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются 2 вещи: одна стоит 200 рублей, другая 300 рублей. Составить ряд распределения суммы выигрыша для студента, который приобрел один билет, а всего продано 50 билетов.

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если будет произведено 2 выстрела.

Решение. 1. Пусть Х – с.в. «сумма выигрыша на один билет, если продано 50 билетов»; х₁=0, х₂=200, х₃=300 рублей; р₁=48/50, р₂=1/50, р₃=1/50. Ряд распределения:

2. Пусть Х – с.в. «число попаданий в цель, если будет произведено два выстрела»; х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2 руб. Вероятности значений Х будем искать по формуле Бернулли: р₁=С₂⁰р⁰q²=0,81, р₂= С₂¹р¹q¹=0,18, р₃= С₂²р²q⁰=0,01. Ряд распределения:

Замечание. В зависимости от того, как находится вероятность возможных значений, закон распределения носит то или иное название. В задаче №2 вероятность значений Х искалась по формуле Бернулли, распределение называется биномиальным.