14. Плотность распределения

Рассмотрим непрерывную с.в. Х с функцией распределения F(x), которая является непрерывной и дифференцируемой. Найдем приращение F(x) на интервале (x, x + х):

.

Вычислим среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, потребуем, чтобы х0, в пределе получим производную от функции распределения:

.

Плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной с.в. Х называется функция

р(x)=F`(x).

Ф ункция р(x) характеризует плотность, с которой распределяются значения с.в. в данной точке х; р(x) называется также дифференциальной функцией распределения.

График р(x) называется кривой распределения.

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. Однако эта форма не является универсальной в отличие от функции распределения. Плотность распределения существует только для непрерывных с.в.

Свойства плотности распределения:

1. р(x)0, т.е. является неотрицательной функцией, в с.д., F(x) – неубывающая функция;

2. . В с.д., Р(a<X<b)=F(b)-F(a)= ;

3. . В с.д., Р(-<X<)= как вероятность достоверного события;

4. . В с.д., F(x)=Р(X<х)=Р(-<X<х)= .