4. Операции над событиями. Соотношения между событиями

Сумой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Сумма двух событий А и В обозначается через А+В. Аналогично определяется и обозначается сумма n событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Произведением, или пересечением, двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается АВ. Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий.

Если событие А произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событий В представляет собой частный случай события А, и пишут . Также говорят, что В влечет А.

Если и , т.е. события А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными, или эквивалентными, и пишут А=В.

Операции объединения и пересечения событий обладают некоторыми свойствами. Обозначим U – достоверное событие, V – невозможное событие, - событие, противоположное событию А.

Свойства операций над событиями:

Свойства 1-4 следуют из определения операций объединения и пересечения.

Докажем свойство №8:

.

Это свойство позволяет разложить любое событие А на сумму двух несовместных событий.

Если , то АВ=В и применение свойства 8 дает следующий результат: A=B+A.

Разностью событий А и В называется событие А-В, которое заключается в наступлении события А и ненаступлении события В.

Задачи

1. Событие А – «появление герба при одном подбрасывании монеты», событие В – «появление двух гербов при подбрасывании двух монет». Найти и .

2. Подбрасывается игральный кубик. Обозначим события: А – «выпадение 6 очков», В – «выпадение трех очков», С – «выпадение четного числа очков», D – «выпадение числа очков, кратного трем». Каковы соотношения между этими событиями?

3. Опыт – подбрасывание игрального кубика. События А_k – «выпадение k очков», А – «выпадение четного числа очков», В – «выпадение нечетного числа очков», С – «выпадение числа очков, кратного трем», D – «выпадение числа очков, большего трех». Выразить события А, В, С, D через события А_k.

4. Пусть А, В, С – произвольные событии. Что означают следующие события: , , , , ?

Решение

1. - «появление цифры при одном подбрасывании монеты»; - «появление герба+цифра или цифра+цифра, или цифра+герб».

2. , , A+B=D, CD=A.

3. А=А₂+А₄+А₆, В=А₁+А₃+А₅, С=А₃+А₆, D=А₄+А₅+А₆.

4. - «произошло событие А, не произошли В и С»; - «не произошло хотя бы одно из трех событий»; - «произошло ровно одно из событий»; - «произошло не более одного из событий».