40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

В том случае, когда исследуемый признак имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией , невозможно воспользоваться результатами п. 40.1, в котором дисперсия предполагалась известной.

В данном случае поступают следующим образом. По данным выборки строят случайную величину Т:

,

которая имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы; здесь – выборочная средняя; S – исправленное среднее квадратическое отклонение; n – объем выборки.

Плотность распределения Стьюдента

,

где .

Распределение Стьюдента определяется единственным параметром n – объемом выборки и не зависит от неизвестных параметров а и . является четной функцией от t, вероятность осуществления неравенства определяется так:

.

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством, получим

.

Последнее равенство представляет собой соотношение для доверительного интервала , покрывающий неизвестный параметр а с надежностью . Здесь и s – выборочные значения признака.

Задача. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в % к предыдущему году):

Предположим, что выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения. Построить доверительный интервал надежности 0,95 для средней выработки на одного рабочего.

Решение. Можно показать, что выборочные характеристики данного распределения таковы: . С учетом того, что , получим соотношение

,

которое будет использоваться нами для решения поставленной задачи. Пользуясь таблицей значений по = 0,95 и n = 100, находим . Найдем границы доверительного интервала:

,

.

Таким образом, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале .