1.4 Исследование связей и установление направления их реакций

Тело, некоторым перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называетсянесвободным. Всякое тело, ограничивающее свободу перемещения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

В статике абсолютно твердого тела связи, налагаемые на рассматриваемое тело, чаще всего встречаются в виде неподвижных поверхностей, линий и точек, а также в виде гибких нитей.

Таким образом, твердое тело является несвободным, если на это тело наложены связи. Например, висящее на гибкой нити тело будет несвободным (рисунок 12), так как на него наложена связь в виде нити и оно не может перемещаться вертикально вниз по направлению вытянутой нити, не разорвав ее.

Если на твердое тело не наложены никакие связи, то такое тело очевидно является свободным.

Если тело не может покинуть связь, то эта связь называется удерживающей. Примером может служить случай шарика с отверстием, надетого на проволоку. Если же тело при некоторых перемещениях может покинуть связь, то такая связь называется неудерживающей. Таким, например, случаем является тело, лежащее на столе. В этом случае тело может перемещаться по столу – связь не нарушается; но можно поднять тело, сняв его со стола, – при таком перемещении связь нарушается. Следовательно, на тело, лежащее на столе, наложена неудерживающая связь. При этом не считается возможным, например, такое движение, при котором тело пробивает доску стола, осуществляющую связь, так как считается, что связи физически неразрушимые.

Сила, характеризующая действие связи на тело, называется силой реакции связи. Если считать силу, с которой тело действует на связь, действием, то сила реакции связи является противодействием и приложена к телу. Эти силы нельзя считать уравновешенными, хотя они и равны по модулю и направлены противоположно, так как точки приложения этих двух сил принадлежат различным телам.

Все силы, действующие на тело, можно разделить на две группы: силы активные (сила тяжести, сила упругости сжатой или растянутой пружины и т. п.) и силы реакций связей. При этом активными силами следует считать все силы, не являющиеся силами реакций связей. Характерной особенностью активных сил является то, что модуль и направление каждой активной силы наперед известны и непосредственно не зависят от действия других, приложенных к данному телу сил, а также от движения этого тела и от характера наложенных на него связей. Силы же реакций связей зависят от действия приложенных к нему активных сил, а также от движения этого тела и от характера наложенных на него связей.

Силы реакций связей возникают только тогда, когда тело, на которое наложены связи, под действием активных сил оказывает давление на эти связи. Как только прекращаются эти давления на связи, перестают действовать на тело и силы реакций связей. В этом смысле силы реакций связей называются пассивными силами. (Пассивные силы не могут сами вызывать движение тела, в отличие от сил активных).

Для определения силы реакции связи необходимо знать ее модуль, направление и точку приложения. Модуль каждой силы реакции связи всегда зависит от действующих на тело активных сил и является наперед неизвестным. Направление же сил реакций связей известно лишь для некоторых типов связей. Если данная связь препятствует перемещению тела только в одном каком-нибудь направлении, то направление ее реакции противоположно этому направлению. Если же данная связь препятствует перемещениям тела по многим направлениям, то направление силы реакции связи наперед неизвестно и должно (так же, как и модуль силы реакции) определяться в результате решения соответствующей задачи статики. Точка приложения силы реакции связи, как правило, бывает известна.

Аксиома VI. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие соответствующими силами реакций связей.

Эта аксиома называется аксиомой связей, или принципом освобождаемости от связей.

Аксиома связей дает возможность применить к несвободному телу условия равновесия, справедливые для свободного тела. Для этого следует мысленно отбросить связи, наложенные на тело, заменив их действие соответствующими силами реакций связей. Затем нужно рассмотреть равновесие этого несвободного тела как тела свободного под действием активных сил и сил реакций связей.

Определение модулей и направлений сил реакций связей имеет первостепенное практическое значение, так как, зная силы реакций, согласно аксиоме IV, будем знать и силы давления на связи. А это, в свою очередь, позволит, пользуясь законами сопротивления материалов, определить, выдержат ли связи данные давления или нет, т. е. рассчитать прочность машины, конструкции или сооружения.

При решении некоторых задач на равновесие тела можно сразу указать направление сил реакций связей. При этом следует лишь определить модули сил реакций связей в ходе решения статических задач.

Для правильного направления сил реакций связей укажем несколько примеров наиболее часто встречающихся связей и установим возможное направление их сил реакций.

1. Связь осуществляется посредством идеально гладкой неподвижной плоскости или поверхности (рисунок 13). Гладкой называют такую плоскость или поверхность, на которой можно пренебречь трением. Так как такая связь не препятствует скольжению по ней поверхности тела и препятствует только перемещению, направленному по общей нормали к поверхности тела и к связи, то ее сила реакции направлена по этой нормали(Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный через точку касания. При этом под касательной плоскостью понимают плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через данную точку), и приложена к телу в точке касания. Поэтому эту реакции называют нормальной силой реакции. Модуль нормальной реакции равен давлению, производимому телом на связь, и зависит от активных сил, приложенных к телу.

Заметим, если на идеально гладкую поверхность, осуществляющую связь, опирается в некоторой точке шар, то сила реакции связи направлена по общей нормали к поверхности шара и к связи в точке их касания и проходит через центр шара.

Если поверхность данного тела или поверхность тела, осуществляющего связь, имеет в месте касания заострение, то в этих случаях проведение общей нормали представляет собой операцию неопределенную. В этом случае сила реакции должна быть направлена по нормали к той поверхности, для которой ее проведение является операцией определенной, и приложена к телу в точке касания (рисунок 14, а, б; рисунок 15). (Предполагается, что трение между телом и связью нет).

2. Связь осуществляется посредством гибкого тела (нить, канат, и т. п.). Такая связь называется гибкой. Если на тело наложена гибкая связь, то сила реакции приложена к телу в точке прикрепления гибкой связи. Сила реакции гибкой связи направлена, вообще говоря, по касательной к связи в точке ее прикрепления к телу. В частности, сила реакции гибкой связи (см. рисунок 12) может иметь линией действия ось этой связи.

3. Связь осуществляется посредством неподвижного цилиндрического шарнира или подшипника (рисунок 16). При наложении такой связи рассматриваемое тело неизменно скрепляется с втулкой, которая надевается на болт, неподвижно прикрепленный к соответствующей опоре (на рисунке 16 показано, что втулка имеет цилиндрическое отверстие, диаметр которого несколько больше диаметра болта).

Трением между поверхностями втулки и болта во многих случаях можно пренебречь. Связь, осуществляемая посредством такого идеального шарнира, не препятствует ни повороту тела вокруг оси болта, ни его перемещению вдоль этой оси (ось болта перпендикулярна к плоскости рисунка).

Эта связи препятствует лишь перемещению тела в направлении нормали к поверхности втулки и болта, и, следовательно, ее реакция может быть направлена только по этой нормали. Но так как втулка в зависимости от ее расположения и активных сил, приложенных к неизменно скрепленному с ней телу, может прижиматься к любой точке болта, то указать заранее направление реакции даже такого идеального шарнира нельзя. Можно только утверждать, что сила реакции идеального неподвижного цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т. е. в плоскости (рисунок 16,б). В этом случае линия действия реакции связи всегда проходит через центр шарнира, но модуль и направление (угол) этой реакции неизвестны. Поэтому при освобождении тела от шарнирной связи силу реакциираскладывают на две составляющиеи. Эти составляющие всегда направляют в сторону положительного направления осей координат и. Если в результате решения задачи для и получатся отрицательные значения, то это означает, что в действительности составляющие иреакциинаправлены в стороны, противоположные положительному направлению осей координат. Модуль и направление полной реакции цилиндрического шарнира определяется по формулам:

;;, где:,– единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат.

Однако в некоторых случаях можно точно указать направление реакции неподвижного цилиндрического шарнира. Например, пусть балкаАD весом , закрепленная на неподвижном цилиндрическом шарнире A, опирается в точке В на неподвижную опору, как показано на рисунке 17. Реакция неподвижной опоры направлена перпендикулярно к балкеАD. Реакцию неподвижного цилиндрического шарнира А обозначим через .Так как три силы , и взаимно уравновешиваются, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке (это следует из доказанной выше теоремы о трех уравновешивающихся силах), поэтому линия действия реакции ка неподвижного цилиндрического шарнира А проходит через точку пересечения О линий действия сил и . Следовательно, эта реакция направлена по прямойОА, соединяющей точку О с неподвижной точкой А (с неподвижным болтом шарнира, рассматриваемым как точка).

4. Связь осуществляется посредством сферического шарнира (рисунок 18). Сферический шарнир представляет собой шар, который может вращаться как угодно внутри сферической полости. Направление реакции в этом случае заранее указать нельзя, даже если трение в шарнире пренебрежимо мало. Реакция связи, осуществленной в виде сферического шарнира, может быть направлена по любой наперед неизвестной нормали к поверхности этого шарнира. Если на тело, неизменно скрепленное со сферическим шарниром А (рисунок 19), действует произвольная пространственная система сил (линии действия такой системы расположены произвольным образом в различных плоскостях), , ,…, , то при отыскиванииреакции сферического шарнира эту неизвестную по модулю и направлению реакцию раскладывают по трем осям координат на три составляющие, и . При этом всегда направляют составляющие реакции в сторону положительного направления осей координат. Если в результате решения задачи модуль какой-нибудь из составляющих будет иметь отрицательное значение, то фактически эта составляющая направлена в сторону, противоположную направлению соответствующей оси координат.

Модуль и направление полной реакции сферического шарнира находятся по формулам:

;;

;где:,, – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат.

5. Связь осуществляется посредством подпятника. Подпятник В (рисунок 20) представляет собой соединение цилиндрического шарнира с опорной плоскостью, не позволяющей опускаться телу, на которое эта связь наложена. Реакция подпятника складывается из нормальной реакции опорной плоскости и реакции цилиндрического шарнира.

Если две какие-нибудь точки данного тела неподвижно закрепим при помощи подпятника и подшипника, то такое тело может вращаться вокруг оси, проходящей через эти две неподвижные точки. Предположим, что к телу, ось которого может вращаться в подпятнике В и в подшипнике А, приложена произвольная пространственная система сил , ,…, (рисунок 20). Так как подшипник А (цилиндрический шарнир) допускает скольжение тела в вертикальном направлении, то его полная реакция не будет иметь вертикальной составляющей и разложится лишь на две составляющие и. Реакция же подпятника В дает в этом случае три составляющие , и , направленные по трем координатным осям (, – реакции цилиндрического шарнира, – нормальная реакция опорной плоскости).

Вслучае действия на рассматриваемое тело произвольной плоской системы сил (линии действия сил такой системы расположены произвольным образом в одной плоскости) направление реакции подпятника и подшипника будет несколько иное.

В этом случае полная реакция подпятника В раскладывается только на горизонтальную и вертикальную составляющие. Подшипник А даст при этом только горизонтальную реакцию , перпендикулярную к оси вращения.

6. Связь осуществляется посредством невесомого твердого стержня (рисунок 21). Предположим, что невесомый (под невесомым стержнем понимают такой стержень, весом которого по сравнению силами, действующими на всю конструкцию, можно пренебречь) абсолютно твердый прямолинейный стержень АВ (рисунок 21, а) соединен своими концами с данным телом, равновесие которого мы рассматриваем, и с другим каким-нибудь телом посредством идеальных (лишенных трения) шарниров А и В. При этом никакие активные силы к этому стержню не приложены. Шарнирные соединения концов стержня называются узлами. Найдем направление реакции, например, стержня АВ. Если вся рассматриваемая конструкция (рисунок 21, а) находится в равновесии, то, следовательно, в равновесии находится и сам стержень АВ. Мысленно отделяем стержень АВ от остальной части конструкции (отбрасываем связи-шарниры) и, чтобы не нарушилось его равновесие, прикладываем к обоим концам стержня АВ силы реакции отброшенных шарниров. Так как выделенный невесомый стержень АВ, рассматриваемый как свободное тело, находится в равновесии под действием только двух сил – реакций шарниров А и В, то по аксиоме I эти реакции иравны по модулю, направлены в противоположные стороны и действуют по одной прямой, соединяющей центры этих шарниров, т. е. по продольной центральной оси стержня (рисунок 21б, в). В зависимости от направления реакции отброшенных шарниров стержень АВ либо растягивается (рисунок 21, б), либо сжимается (рисунок 21, в). Заметим, что на основании аксиомы IV сила реакции стержняАВ на шарнир А, приложенная к шарниру А (рисунок 21, а), равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции шарнираА на стержень АВ (рисунок 21, б, в). Поэтому сила реакции стержняАВ на рассматриваемое тело также направлена по продольной центральной оси стержня аналогично и(рисунок 21,а). При этом сила реакции направлена или от узла стержня, если воспринимает растягивающее усилие, или к узлу стержня, если последний подвергается сжатию.

Во многих задачах нельзя заранее сказать, работает стержень на сжатие или на растяжение. Поэтому при решении задачи на равновесие силу реакции стержня направляют от узла к середине стержня, т. е. предполагают, что стержень работает на растяжение. Результат решения задачи покажет, будет ли это так. Если значение силы реакции получится положительным, то стержень действительно работает на растяжение, а если отрицательным, то стержень фактически сжимается.

7. Связь осуществляется посредством негладкой неподвижной поверхности (рисунок 22, а, б). До сих пор мы рассматривали связи, которые осуществлялись посредством абсолютно гладких поверхностей. В действительности же реальные поверхности бывают негладкими (шероховатыми). Негладкая поверхность не только препятствует перемещению, нарушающему связь, но и оказывает некоторое сопротивление перемещению по этой поверхности. Это сопротивление тоже представляет некоторую реакцию, направленную по касательной плоскости к поверхности и называемую силой трения скольжения. Сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную той, в которую двигают или стремятся сдвинуть тело приложенные к нему активные силы. Как и всякая реакция связи, сила трения определяется теми активными силами, которые действуют на рассматриваемое тело*. Следовательно, реакция негладкой неподвижной поверхности имеет две составляющие: одну – нормальную к поверхности, осуществляющей негладкую связь, а другую – лежащую к общей касательной плоскости к поверхности тела и поверхности, осуществляющей негладкую связь. Первая составляющая – формальная сила реакции – на рисунке 22 а, б обозначена через и, а вторая составляющая – сила трения скольжения – на тех же рисунках обозначена через и.

Хотя идеально гладких поверхностей, а следовательно, и связей без трения в действительности не существует, но во многих случаях практики величина силы трения может быть настолько малой, что ею можно пренебречь и практически считать связи идеально гладкими. Примером такой связи является часто применяемая в мостовых и других конструкциях опора на катках (рисунок 23). Подвижность катка настолько велика, и, следовательно, сила трения настолько мала, что можно считать эту связь препятствующей лишь перемещению, перпендикулярному к опорной плоскости. Поэтому эта связь характеризуется только одной нормальной реакцией .