32. Закон больших чисел

Во введении было отмечено, что теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Единичные явления, которые наблюдаем вместе с их индивидуальными особенностями, скрывают закономерности, которые имеют место при наблюдении большого числа аналогичных явлений. Суть одной из таких закономерностей состоит в том, что конкретные особенности каждого случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений. Эта устойчивость средних представляет собой результат действия закона больших чисел.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых при тех или иных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Знание закона распределения случайной величины позволяет находить вероятности различных событий, относящихся к этой случайной величине. На практике зачастую известны лишь числовые характеристики с.в. В этом случае невозможно найти значения вероятностей событий, связанных с этой с.в., но можно оценить сверху или снизу вероятности различных отклонений с.в., используя только числовые характеристики с.в.

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D.

Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на , ограничена сверху величиной :

. (33.1)

Задача. Оценить вероятность того, что отклонение с.в. Х от своего среднего значения М(Х) не превысит «трех ».

Решение. В формуле (33.1) положим . С учетом того, что , имеем:

.

Напомним, что согласно правилу «трех » для нормально распределенной с.в. эта вероятность равна 0,9973.

Неравенство Чебышева представляет собой важный и удобный инструмент теории вероятностей. Важность этого неравенства вытекает из его универсальности, поскольку оценка вероятности в нем не зависит от закона распределения с.в.

Неравенство Чебышева даёт только верхнюю границу данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения.

Рассмотрим последовательность случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n. Говорят, что последовательность Х₁, Х₂, …, Х_n сходится по вероятности к с.в. Х, если для любого .

Законом больших чисел называют теоремы, утверждающие, что при определенных ограничениях на с.в., разность между средней арифметической случайных величин и средней арифметической их математических ожиданий сходится к нулю по вероятности.

Одной из простейших, но вместе с тем важной формой закона больших чисел является теорема Чебышева:

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию:

,

где m – математическое ожидание с.в., – дисперсия.

Теорема Чебышева может быть легко обобщена и на более сложный случай, а именно когда закон распределения случайной величины Х от опыта к опыту не остается одним и тем же, а изменяется. Тогда вместо среднего арифметического наблюденных значений одной и той же величины Х с постоянными математическим ожиданием и дисперсией мы имеем дело со средним арифметическим n различных случайных величин, с различными математическими ожиданиями и дисперсиями. В этом случае при соблюдении некоторых условий среднее арифметическое является устойчивым и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине:

Если Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые случайные величины с математическим ожиданиями m₁, m₂, …, m_n и дисперсиями D₁, D₂, …, D_n и если дисперсии ограничены одним и тем же числом С, то при возрастании n среднее арифметическое наблюденных значений величин Х₁, Х₂, …, Х_n сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий m₁, m₂, …, m_n:

. (33.2)

Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что каковы бы не были случайные величины, которые могут принимать отдельные значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое большого числа случайных величин принимает значение среднего арифметического их математических ожиданий. Другими словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Из этого можно сделать заключение, что сумма достаточно большого числа случайных величин уже не является случайной величиной.

Задача. Для установления размера некоторого изделия произведено 100 независимых измерений. Точность каждого измерения, определяемая средним квадратическим отклонением, не превышает 0,05 мм. В качестве размера изделия берется среднее арифметическое результатов 100 измерений. Оценить вероятность того, что допускаемая погрешность не превышает 0,01 мм.

Решение. Пусть m – истинный размер изделия, Х_k – результат k-го замера изделия, k =1, 2, …, n. Погрешность, допускаемая при замене истинного размера изделия m на среднее арифметическое результатов измерения, есть величина . По условию , значит .

Полагая в формуле (33.2) , , , получаем искомую оценку вероятности: .

Следствием из закона больших чисел является теорема Я. Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, вероятность которого в каждом опыте равна р. Теорема Бернулли утверждает, что

При неограниченном увеличении числа опытов n частота события А сходится по вероятности к его вероятности р, т.е.

.

Теорема Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта, позволяет при большом числе опытов в качестве приближенного значения вероятности события Р(А) взять его относительную частоту .

При изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона и формулируется так:

Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i-том опыте равна p_i, то при увеличении n частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей p_i.

Теорема Пуассона выводится из теоремы Чебышева, как и теорема Бернулли.

Теорема Пуассона имеет большое принципиальное значение для практического применения теории вероятностей. В частности в области опытной проверки вероятностных расчетов. На практике очень часто встречается случай, когда требуется проверить на опыте соответствие вычисленной вероятности какого-либо события А его фактической частоте. Это делается для проверки правильности той или иной теоретической схемы, положенной в основу метода вычисления вероятности события. При такой экспериментальной проверке не удается воспроизвести достаточно много раз одни и те же условия опыта. Проверка же осуществляется путем сравнения наблюденной в опыте частоты события, но не с его вероятностью, а со средним арифметическим вероятностей, вычисленных при различных условиях.