6.1 Момент силы относительно точки как вектор

В случае произвольной плоской системы сил мы рассматривали момент силы относительно точки как алгебраическую величину, равную произведению модуля силы на ее плечо, взятому со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того направления, в котором сила стремится вращать тело.

В случае же произвольной пространственной системы сил указания только модуля момента силы относительно точки (модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы на ее плечо) и его знака для полной характеристики вращательного действия силы недостаточно. Взяв произвольную пространственную систему сил и выбрав какую-нибудь точку в пространстве, можно провести через эту точку и через линию действия каждой из сил в отдельности плоскость. Эти плоскости у разных сил будут разными, т. е. они будут расположены под различными углами друг к другу. В этом случае силы, имеющие одинаковые модули моментов относительно одной и той же точки, будут производить различные вращательные действия на тело, если плоскости, проходящие через линии действия этих сил и выбранную в пространстве общую точку, не будут совпадать. Поэтому при рассмотрении произвольной пространственной системы сил необходимо так обобщить понятие момента силы относительно точки, чтобы в определение этого понятия уже входило задание положения в пространстве плоскости, проходящей через линию действия силы и выбранную в пространстве точку (в случае же произвольной плоской системы сил выбранный центр моментов и линии действия всех сил лежат в одной плоскости. Поэтому необходимость задавать каждый раз положение плоскости, проходящей через центр моментов и линию действия силы, отпадает). Положение плоскости в пространстве, как известно, можно задать направлением перпендикуляра к этой плоскости. Таким образом, в определение момента силы относительно точки должны входить как модуль момента, так и указание направления перпендикуляра к плоскости, проходящей через линию действия силы и через выбранную точку. Отсюда вытекает следующее векторное определение момента силы относительно точки О (рисунок 91): моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный по модулю произведению модуля силы на ее плечо и направленный по перпендикуляру к плоскости ОАВ, проходящей через линию действия силы и точку О, в ту сторону, откуда вращение тела силой представляется происходящим против часовой стрелки.

Обозначим момент силы относительно точки О символом . Модуль этого момента , где d — плечо силы, т. е. Длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы .

Выразим теперь момент силы относительно точки О с помощью векторного произведения , где вектор называется радиусом-вектором точки А приложения силы относительно точки О (рисунок 91). Модуль этого векторного произведения (рисунок 91)

(1)

Но модуль вектора-момента силы относительно точки О тоже равен Fd или , поэтому

. (2)

Направлен же вектор перпендикулярно к плоскости ОАВ в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение вектора с вектором силы (если их отложить от одной точки) видно происходящим против хода часовой стрелки. Но точно так же направлен и вектор-момент силыотносительно точкиО. Расставим модуль вектора-момента , определяемый формулой (2), и принимая во внимание его направление, приходим к заключению, что вектор-момент можно выразить с помощью векторного произведения т. е.

. (3)

Таким образом, момент силы относительно точки равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.