19.2 Показательное распределение

В теории массового обслуживания, физике, биологии, в вопросах надежности имеем дело со случайными величинами, подчиненными показательному распределению:

Найдем функцию распределения случайной величины Х, подчиненной показательному закону распределения:

.

Таким образом,

Вычислим основные числовые характеристики величины Х, подчиненной показательному распределению – математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача. Пусть случайная величина Х - время работы электрической лампочки – подчинена показательному распределению. Найти вероятность того, что время работы лампы меньше 600 часов, если в среднем лампа работает 400 часов.

Решение. По условию задачи М(Х)=400, значит λ= .

Укажем две области применения теории вероятностей, где показательное распределение играет основную роль. К первой из них относятся задачи, связанные с величинами типа «времени жизни». Например, в медицине или биологии под ним может пониматься продолжительность жизни организмов; в психологии – время, затраченное испытуемым на выполнение тестовых заданий; в технике – время безотказной работы механизма.

Второй областью использования показательного распределения являются задачи массового обслуживания. Например, речь может идти о любой системе (телефонная станция, станция «Скорой помощи», билетная касса, ПЭВМ), предназначенной для обслуживания каких-либо требований или заявок, поступающих на нее в случайные моменты времени.