19.1 Равномерное распределение

В некоторых задачах практики встречаются непрерывные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах определенного интервала [а; b]; кроме того, известно, что в пределах этого интервала [а; b] все значения случайной величины одинаково вероятны, т.е. обладают одной и той же вероятностью. В этом случае говорят, что случайная величина подчинена равномерному закону распределения, плотность вероятности такой случайной величины выражается формулой:

Для определения плотности f(x) воспользуемся свойством плотности :

; откуда .

Плотность распределения f(x) имеет вид:

Данная формула и выражает закон равномерной плотности на интервале [а; b].

Функцию распределения F(x) найдем через интеграл от плотности распределения, несложно показать, что F(x) удовлетворяет выражению

Определим основные числовые характеристики случайной величины Х, подчиненной закону равномерной плотности на интервале [а; b]:

;

; .

Найдем вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по закону равномерной плотности, на участок (α, β), представляющий собой часть участка [а; b]:

.

Равномерное распределение имеют, например, ошибки округления при проведении числовых расчетов. Такая ошибка, как правило, оказывается равномерно распределенной на интервале от – 5 до +5 единиц округляемого десятичного знака. Так, если вычисления проводятся с точностью до 0,001, то ошибка округления при этом равномерно распределена на отрезке [–0,005, 0,005].

Также равномерное распределение имеет время ожидания «обслуживания» при периодическом, через каждые Т единиц времени, включении (прибытии) «обслуживающего устройства» и при случайном поступлении (прибытии) заявки на обслуживание в этом интервале времени. Например, время ожидания пассажиром прибытия поезда метро при их точных пятиминутных интервалах движения и случайном моменте появления пассажира на платформе будет распределено равномерно на промежутке [0 мин, 5 мин].