logo search
math

Тема XXIV. Элементы математической статистики

Литература. [8], гл. 9, § 1—8, задачи 1, 7—10 18, 20; [4], гл. XX, § 27—30, упр. 34-38; [9], ч. II, гл. V, § 16, задача 891; [8], гл. 10, § 1—5, задачи 1—3, 8.

Оценки, которые определяются одним числом, называют точечными. Например, выборочная (статистическая) средняя и выборочная (статистическая) дисперсия — точечные оценки. При малом числе наблюдений эти оценки могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать этих ошибок, используют интервальные оценки, которые определяются двумя числами — концами интервала (в котором заключена оцениваемая величина с заданной вероятностью). Таким образом, задача сводится к отысканию такого интервала (его называют доверительным), который с заданной вероятностью (ее называют надежностью) покрывает оцениваемый параметр. Наиболее часто надежность принимают равной 0,155 или 0,99, или 0,999.

В частности, при надежности γ=0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения (по выборочной средней выборки объемаn, при известном σ) находят по формуле

В обозначениях [4] (гл. XX, § 29) формула принимает вид

Если доверительный интервал найден, то с надежностью 0,95 Можно считать, что оцениваемый параметр заключен в этом интервале.

Пример 1. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежность» 0,95, зная выборочную среднюю =10,43 (статистическую среднююm*x), объем выборки (число наблюдений) n=100 и среднее квадратическое отклонение σ=5.

Решение. Воспользуемся формулой

Подставляя данные, получаем

10,43 — 1,96- (5/10) < а < 10,43 + 1,96- (5/10),

или окончательно 9,45<а< 11,41.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется выборкой? Напишите формулу для вычисления выборочной средней.

  2. Какие оценки называются точечными? Дайте определения несмещенной и состоятельной оценок.

  3. Какие оценки являются интервальными? В каких случаях следует использовать интервальную оценку?

  4. Для чего служит метод наибольшего правдоподобия? Как им пользоваться для дискретных и непрерывных случайных величин?

  5. Как найти доверительные интервалы для оценки, математического ожидания нормального распределения?

  6. Дайте определение статистической гипотезы, приведите примеры статистической проверки гипотез.

  7. Дайте определение случайного процесса. Что называется реализацией (или траекторией) случайного процесса? Какой процесс называется процессом с независимыми приращениями? Изложите сущность пуассоновского процесса.

После изучения тем XXIII и XXIV выполните контрольную работу 12.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ