XXIV. Теория вероятностей и элементы математической статистики

101. Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными исходами. Частота. Свойства частот.

Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними.

Алгебра событий. Вероятность — аддитивная функция события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.

102. Определение условной вероятности. Независимость событий Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности, формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона.

103. Определение случайной величины. Функция распределения: случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное, показательное. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин.

104. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин; их свойства (доказательства только для дискретных величин). Ковариация, коэффициент корреляции.

105. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Теорема Чебышева.

106. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства (теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии характеристических функций и функций распределения). Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина.

107. Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение.

108. Элементы математической статистики. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез.

109. Понятие о задании случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс.

Второй вариант (450 учебных часов)

Разделы, помеченные звездочкой, обязательны для изучения только в случае прямого указания кафедры высшей математики.

I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Трехмерное пространство R³. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис.

2. Скалярное произведение в R³ и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка.

Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение.

4. Уравнение плоскости в R³ (векторная и координатная формы). Уравнения прямой в R² и R³ (векторная и координатная формы).

5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера. Системы т линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса—Жордана.

6. Матрицы. Действие над матрицами, обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения.

Пространство Rⁿ. Линейная зависимость и независимость векторов в Rn. Ранг матрицы, его вычисление. Исследование системы линейных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли.

7. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R² и R³. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

8. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах R² и R³.

9. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

10. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.