8. Дифференциальные уравнения

321—340. Найти общее решение дифференциального уравнения.

341—350. Найти частное решение дифференциального уравнения у"+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=у⁰, у'(0)=y'₀.

351—360. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной форме.

361. Материальная точка массой m=2 г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности k=0,002 кг/с. Найти скорость точки через 1 с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.

362. Моторная лодка двигалась в спокойной воде со скоростью v₀=12 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен и через 10 c скорость лодки уменьшилась до v₁=6 км/ч. Сила сопротивление воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 мин после остановки мотора.

363. Пуля, двигаясь со скоростью v₀=400 м/с, ударяется о достаточно толстую стену и начинает углубляться в нее, испытывая силу сопротивления стены; эта сила сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату ее скорости с коэффициентом пропорциональности k=7 м^-1. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену.

364. Материальная точка массой m=1 г движется прямолинейно. На нее действует сила в направлении движения, пропорциональная времени с коэффициентом пропорциональности k₁=2∙10^-5 кг∙м/с³, и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности k₂=0,003 кг/с. Найти скорость точки через 3 с после начала движения, если начальная скорость точки была равна нулю.

365. В сосуде 100 л водного раствора соли В сосуд втекает чистая вода со скоростью q=5 л/мин, а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось m₀=10 кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?

366. Кривая проходит через точку А (2; —1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k=3. Найти уравнение кривой.

367. Кривая проходит через точку А(1; 2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.

368. Кривая проходит через течку А(1; 2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k=3 Найти уравнение кривой.

369. Кривая проходит через точку А(1; 5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.

370. Кривая проходит через точку А (2; 4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.