4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Литература. [4], гл. XV, § 9, п. 4, о; [5], гл. VII, § 12 '(п. 6°), задачи 2397—2400.

Векторное поле F=Xi+Yj+Zk называется потенциальным, если F = grad u, где u=u(х, у, z)—скалярная функция (потенциал поля). Потенциал поля обычно находят по формуле

где M₀(x₀; y₀; z₀) - фиксирования точка рассматриваемой области.

Формула (5) получается в результате вычисления интеграла

по ломаной M₀M₁M₂M (рис. 6), звенья которой параллельны осям координат (предполагается, что эта ломаная принадлежит рассматриваемой односвязной области).

является потенциальным. Найти его потенциал.

Решение. Находим

Отсюда следует, что данное поле — потенциальное.

Потенциал поля и(x, у, г) находим по формуле (5):

где

Векторное поле F называется соленоидальным, если в каждой точке поля divF=0. Так, например, векторное поле

является соленоидальным, так как для него