6. Арифметическое пространство

Понятие числа является основным понятием математики. Множество действительных¹ чисел R начинают изучать еще в средней школе. Там же рассматривают различные числовые множества (подмножества R): множество натуральных чисел (N), целых чисел (Z), рациональных чисел (Q) и т. п. В современной математике изучают и такие числовые множества, каждый элемент которых, в свою очередь, — совокупность нескольких действительных чисел. Так, благодаря методу координат в аналитической геометрии вместо точек или векторов геометрического пространства рассматривают тройки чисел (аналогично на плоскости — пары чисел)—координат точек (векторов) ; линейное уравнение с п переменными x₁, х₂, ..., х_n

а₁х₁ + а₂х₂ + …+а_nх_n=b

полностью определяется совокупностью его коэффициентов и правой частью (a₁; а₂,...; а_n; b); каждое решение такого уравнения (α₁, α₂;...; α_n) - также совокупность чисел; план и результат работы любого предприятия характеризуются определенными числовыми показателями, т. е. опять-таки совокупностью чисел, и т. п. При этом для задания такой совокупности надо знать не только образующие ее числа, но и какое место занимает в ней каждое число; например совокупности (2; 3) и (3; 2) надо считать различными. В этом смысле говорят, что совокупности чисел, которые мы будем рассматривать, упорядочены.

Как уже отмечалось, в аналитической геометрии упорядоченные тройки чисел имеют двоякий смысл: либо это координаты точки, либо координаты вектора. Здесь упорядоченные тройки чисел — самостоятельный объект изучения. При этом сохраняется прежняя терминология — будем применять для них два термина: точка (х₁; x₂; x₃) и вектор (х₁; x₂; x₃). Обобщая, будем называть упорядоченную совокупность и чисел (х₁; x₂;...; х_n) точкой или вектором (иногда n-мерной точкой или n-мерным вектором). Множество всех n-мерных точек (n-мерных векторов) будем называть n-мерным арифметическим пространством, а число п — размерностью этого пространства.

Арифметическое n-мерное пространство обозначают Rⁿ. Очевидно, R¹ — множество действительных чисел; в этом случае индекс опускают и пишут просто R. Одномерное пространство R называют также числовой прямой, двумерное пространство R² — числовой плоскостью, а n-мерное пространство Rⁿ (n≥3) — числовым пространством. Перенос геометрической терминологии из теории наглядного геометрического пространства на R, R², R³ естествен в силу метода координат. При n>3 такая геометрическая наглядность уже теряет смысл, однако сохранение геометрической терминологии и для R" нельзя считать только условностью. Многие факты, относящиеся к Rⁿ, носят общий характер, не зависящий от n. Так, свойства решений системы линейных уравнений и методы их исследования не зависят от числа переменных. Можно сказать, что арифметическое пространство Rⁿ любой размерности обладает свойствами, в некотором смысле подобными «геометрическим» свойствам R, R², R³.

Выше отмечалась равноправность терминов «точка» и «вектор» применительно к элементам Rⁿ. Уточним теперь эту терминологию. Существенным при построении векторной алгебры в наглядном геометрическом пространстве, где векторами являются направленные отрезки, было определение линейных операций над векторами (сложение векторов и умножение вектора на число). Естественно перенести эти операции и на элементы R³, что фактически и было сделано в векторной алгебре (выражение линейных операций над векторами, заданными своими координатами). Теперь, рассматривая R³ как самостоятельный объект изучения, естественно принять правила сложения векторов и умножения вектора на число, выраженные в координатах, за определение соответствующих линейных операций уже над элементами R³. Эти определения обобщаются и на Rⁿ при любом и.

Далее (см. п. 7) рассмотрено более широкое понятие вектора в современной математике и показано, что это понятие связано с линейными операциями и их свойствами. Поэтому естественно в тех задачах, в которых встречаются элементы Rⁿ в связи с линейными операциями над ними, называть их «векторами», а Rⁿ рассматривать как «векторное пространство». Но во многих задачах, относящихся к Rⁿ, линейные операции над его элементами либо вообще не принимаются во внимание, либо отступают на задний план, а в центре внимания оказываются факты геометрического характера, относящиеся к свойствам и взаимному расположению подмножеств («фигур») Rⁿ. В этих случаях более естественно называть элементы пространства Rⁿ «точками» и рассматривать его как «точечное пространство». С векторной точки зрения пространство Rⁿ будет рассмотрено позже: до конца этого пункта Rⁿ рассматривается как точечное пространство.

Точки Rⁿ будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: М(х₁; х₂;...;х_n), Х(х₁; х₂; ...;.x_n), A(a₁; а₂;...; а_n) и т.д. Сами числа, образующие в совокупности точку, будем называть координатами этой точки. Точку, все координаты которой равны нулю, т. е. О(0; 0; ... 0), будем называть началом координат.

Множества точек в Rⁿ («фигуры») будем задавать с помощью уравнений, неравенств с n переменными и их систем как области их решений.

Область решений совместной системы линейных уравнений с п переменными ранга г называется k-мерной плоскостью в Rⁿ где k = n—r (k — число свободных, а г — базисных переменных).

Отметим два особых случая.

1. r=n, k=0. Система имеет единственное решение, которое представляет собой точку в Rⁿ, т. е. точку можно считать 0-мерной плоскостью.

2. r=0, k=n. Все уравнения системы являются тождествами (0 = 0), все переменные — свободные, область решений системы совпадает со всем пространством Rⁿ, т. е. само пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Если эти два особых случая исключить из рассмотрения, то, очевидно, k может изменяться в пределах 1≤k≤n—1. Плоскость наибольшей возможной в Rⁿ размерности, но не совпадающую со всем пространством, т. е. (n—1)-мерную плоскость, называют гиперплоскостью, а плоскость наименьшей возможной размерности, но не являющуюся точкой, т. е. одномерную плоскость, — прямой.

Пространство R одномерно, и в нем не может быть плоскостей меньших размерностей; в пространстве R² (числовая плоскость) гиперплоскость совпадает с прямой — это одномерная плоскость; в пространстве R³ гиперплоскостью является двумерная плоскость, а прямой — одномерная плоскость, других плоскостей нет; при n>3 кроме гиперплоскости и прямой существуют плоскости промежуточных размерностей [(n—2)-мерные,..., трехмерные, двумерные].

Гиперплоскость обычно задают одним линейным уравнением

a₁x_l - а₂х₂+.. .+ а_nх_n = b, (8)

в котором не все коэффициенты a₁, а₂,..., а_n равны нулю (a¹₂+a²₂+...+a²_n≠0); последнее условие равносильно тому, что ранг система, состоящей из одного уравнения (8), равен единице.

Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений

Если ее матрица А имеет ранг, равный 1, то

a₂₁/a₁₁=a₂₂/a₁₂=…=a_2n/a_1n. (10)

В этом случае гиперплоскости, определяемые уравнениями системы (9), называются параллельными. Если при этом ранг расширенной матрицы В системы (9) равен 2, т. е.

a₂₁/a₁₁=a₂₂/a₁₂=…=a_2n/a_1n≠b₂/b₁. (11)

то система несовместна — гиперплоскости, определяемые уравнениями системы (9), не имеют общих точек (не пересекаются); если же ранг расширенной матрицы также равен 1, т. е.

a₂₁/a₁₁=a₂₂/a₁₂=…=a_2n/a_1n≠b₂/b₁. (12)

то ранг системы (9) равен 1, система сводится к одному уравнению — две гиперплоскости совпадают.

Наконец, если ранг матрицы А системы (9) равен 2, то система уравнений (9) определяет (n—2)-мерную плоскость.

Прямую можно задать совместной системой линейных уравнений с n переменными ранга r=n—1. Если известны две точки U(u₁;u₂;…;u_n) и V(v₁; v₂;…; v_n) прямой, то эту систему можно записать в виде

где X(x₁; х₂;…;х₂) - текущая (переменная) точка прямой. Систему уравнений (13) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки U и V (ср. [1], гл. II, § 3, п. 1).

Полагая (x_i—u_i)/(v_i—u_i)=t (i=l, 2,..., n), систему (13) можно записать в виде

Уравнения (14) являются параметрическими уравнениями прямой; параметром является переменная величина t (о параметрических уравнениях линий на плоскости и в пространстве см [1], гл. II, § 1, п. 3). При изменении t от -∞ до +∞ уравнения (14) определяют различные точки X прямой UV. При t = 0 точка X совпадает с точкой U, а при t=1-с точкой V. Если же 0<t<1, то значения x, заключены между соответствующими значениями u₁ и v₁; в этом случае говорят, что точка X заключена между точками U и V. Множество точек, включающее точки U, V и все точки, лежащие на прямой между ними, называется отрезком прямой, точки U а V— концами, а точки, заключенные между ними, — внутренними точками отрезка. Отрезок с концами U и V обозначают UV.

Отрезок UV определяется уравнениями (14) при дополнительном условии

множество внутренних точек отрезка UV определяется уравнениями (14) при дополнительном условии

Если t<0 или t>1, то точка X, определяемая уравнениями (14), лежит на прямой UV вне отрезка UV, причем если t<0, то точка U лежит между точками X и V, а если t>l, то точка V лежит между U и X.

Замечание. При изучении аналитической геометрии для координат внутренней точки М отрезка АВ были получены формулы

где A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂); λ∕μ=|AM|/|MB| (см. [1], гл. I, § 2, п. 2).

Полагая λ∕(λ+μ)=t, получим х=(1—t)x₁+tx₂, у=(1-t)y₁+ty₂, z=(1— t)z₁+tz₂ — частный случай формул (14) при n=3 и соответствующих обозначениях (М≡Х, A≡U, B≡V); при этом t=|AM|/|MB| и для внутренних точек отрезка АВ выполняется условие (16).

Рассмотрим множества точек, определяемых неравенствами

Гиперплоскость

принадлежит, очевидно, обоим этим множествам. Возьмем в одном из них точку U, а в другом V, не принадлежащие гиперплоскости (8). Можно показать, что среди внутренних точек отрезка UV найдется точка, принадлежащая гиперплоскости (8), т. е. отрезок UV пересекает гиперплоскость (8). В этом смысле будем говорить, что множества, определяемые неравенствами (17) и (18), лежат по разные стороны от гиперплоскости (8). Они называются полупространствами. Гиперплоскость (8), принадлежащая обоим полупространствам, является их общей границей.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется n-мерным арифметическим пространством?

2. Что называется r-мерной плоскостью в n-мерном арифметическом пространстве?

3. Что называется гиперплоскостью и прямой в n-мерном арифметическом пространстве?

4. Как записываются уравнения гиперплоскости и прямой в n-мерном арифметическом пространстве?

5. В каком случае две гиперплоскости называются параллельными? Каковы условия параллельности и совпадения гиперплоскостей?

6. Как определяется отрезок в n-мерном арифметическом пространстве?

7. Как определяются полупространства n-мерного арифметического пространства?