logo
math

1. Случайные события

Литература. [8], гл. I, § 1—3, задача 6; гл. 2, § 4—5, задачи 1—8, 12, 14—16, 21; гл. 3, § 1—3, задачи 1, 2, 4, 13—16; гл. 4, § 1—3, задачи 1—21; [4J, гл. XX, § 1-6, 8, упр. 1—3, 8, 9, 12, 13; [9], ч. И, гл. V, § 1—4, задачи 776, 777, 792, 794, 809, 815.

Формулу Бернулли ([8], гл. 4, § 2; [4], гл. XX, § 8) практически используют при небольших значениях числа независимых испытаний n. При больших значениях n применяют локальную теорему Муавра—Лапласа ([8], гл. 4, § 3): если вероятность р появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0<р<1), то вероятность Рn(m) того, что событие наступит в n независимых испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Здесь функция , причем значение аргумента находят по формуле. Эта функция табулирована, ее таблицы приведены в приложении (табл. 2) учебника [4]. В таблицах помещены только положительные значения аргументаx. Для отрицательных значений x используют те же таблицы, так как рассматриваемая функция — четная.

Пример 1. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит 1500 раз в 2100 испытаниях.

Решение. По условию, n=2100, m= 1500, р=0,7, q=l—0,7=0,3. Так как n = 2100 достаточно большое число, то воспользуемся локальной теоремой Муавра—Лапласа.

Найдем значение аргумента х:

По таблице функции f(x) находим f(1,43)=0,1435. Искомая вероятность

Если число независимых испытаний n велико (я>100), а вероятность появления события в каждом испытании р мала (р≤0,3), то. для отыскания вероятности того, что в этих испытаниях событие появится m раз, используют приближенную формулу Пуассона:

где λn=np (среднее число появлений события). Эту формулу можно получить из формулы Бернулли, перейдя к пределу при ([8], гл. 4, §3).

Пример 2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию, n=1000, р=0,002, m=3. Поскольку число n велико, а вероятность p мала и элементы работают независимо, воспользуемся формулой Пуассона. Найдем λn; λn=np=1000∙0,002=2. Искомая вероятность

Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей и следствия из них.

  2. Дайте классическое определение вероятности В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

  3. Дайте определение условной вероятности. Какие события называются независимыми'

  4. Дайте определение произведения событий. Докажите теоремы умножения.

  5. Докажите формулу полной вероятности.

  6. Докажите формулу Байеса.

  7. Дайте определение последовательности независимых испытаний, изложите схему Бернулли и докажите формулу Бернулли.

  8. Сформулируйте локальную теорему Муавра—Лапласа, докажите теорему Пуассона. Когда применяются эти теоремы?