Тема X. Функции нескольких переменных

1. Основные понятия

Литература. [4], гл. VIII, § 1, 2; [5], гл. VI, § I, задачи 1784, 1785, 1792 (г, д, е, ж, к, м), 1793 (а, г); [4], гл. VIII, § 3, 4; [5], гл. VI, § 2, п. 2°, задачи 1797 (а, б, в, г), 1799 (а, б, в).

2. Частные производные

Литература. [4], гл. VIII, § 5, 6, упр. 1—10.

3. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Литература. [4], гл. VIII, § 7, упр. 11 — 17; § 8, упр. 18; [5], гл. VI, § 4, задачи 1849, 1851; [4], гл. IX, § 6, упр. 17, 18, 20.

4. Производные сложной функции и функции, заданной неявно. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков

Литература. [4], гл. VIII, § 10, упр. 22, 24; § 11, упр. 26, 28, 30, 32; § 12, упр. 34, 38; [5], гл. VI, § 7, п. 2°, задачи 1916, 1917, 1920, 1924.

5. Поверхности уровня и линии уровня в скалярном поле. Производная по направлению и градиент

Литература. [4], гл. VIII, § 13; [5], гл. VI, § 1, задачи 1794 (а, б, в, г, ж), 1796; [4], гл. VIII, § 14, 15, упр. 40—43; [5], гл. VI, § 6, задачи 1884, 1886—1888.

6. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных

Литература. [4], гл. VIII, § 16, 17, упр. 47—49; § 18; [5], гл. VI, § 13, п. 5°, задачи 2021—2023.

При исследовании функции нескольких переменных на экстремум следует иметь в виду, что точки экстремума могут находиться как среди точек, в которых частные производные равны нулю, так и среди точек, в которых частные производные не существуют. Например, функция имеет минимум в точке (0; 0), тогда как в этой точке ее частные производные не существуют. При отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в некоторой замкнутой области следует найти все внутренние точки области, в которых функция может иметь экстремум. Затем надо исследовать функцию на границе области и найти там точки, где функция может принимать наибольшие (наименьшие) значения. При этом часто приходится разбивать границу области на части, заданные различными уравнениями. Вычислив значения функции во всех найденных точках, следует сравнить их между собой: наибольшее

(наименьшее) из этих значений и является наибольшим (наименьшим) значением функции во всей замкнутой области.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=2x³—6ху+3у² в замкнутой области, ограниченной осью Оу, прямой у=2 и параболой у=х²/2 при х>0 (рис. 2).

Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные равны нулю. Решив систему уравнений

найдем две точки О(0; 0) и M(l; 1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция г принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М(1; 1). Исследуем функцию на границе области.

На отрезке ОА имеем х=0, поэтому на этом отрезке z=3у² (0≤y≤2)—возрастающая функция одной переменной у; наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка ОА.

На отрезке АВ имеем у=2, следовательно, на этом отрезке функция z=2х³—6x∙2+3∙2²=2x³-12x+12 (0≤x≤2) представляет собой функцию одной переменной х, ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Находим производную z'=6x²—12. Решая уравнение z=0 или 6х²—12=0, находим x_1,2=±√2. Внутри отрезка 0≤x≤2 имеется лишь одна критическая точка х=√2; соответствующей точкой отрезка АВ является точка Q(√2; 2). Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z на отрезке АВ находятся среди ее значений в точках A, Q и В.

На дуге ОВ параболы y=x²/2 имеем

Решаем уравнение z'=3х³—Зх²=0 или х²(х—1)=0 и находим его корни. x_1,3=0 и x₂=1. Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции г на дуге ОВ находятся среди ее значений в точках О, Р и В.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции z=2х³—6ху+3у² в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках О, A, Q, В, Р, М, т.е. среди значений: z(0)=z(0; 0)=0; z(A)=z(0; 2)=12; z(Q)=z(√2; 2)=12—8√2; z(B)=z(2; 2)=4; z(P)=z(l; 1/2)=-1/4; z(M)=z(l; 1)=-1, Наибольшее и наименьшее из них равны соответственно 12 и —1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области: z_наиб=12, z_наим=-1.