Тема XXII. Операционное исчисление

Литература. [4], гл. XIX, § 1-9, 11, 13, 19; [9], ч. II, гл. VIII, § 1—3, задачи 1041—1047, 1054—1057, 1061—1065; [4], гл. XIX, § 10, 12, упр. 1—10; [9], г. II, гл. VIII, § 4, задачи 1072— 1078.

Операционным методом удобно решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы таких уравнений. Этот метод заключается в преобразовании данного уравнения (или системы), содержащего оригиналы, в уравнение относительно соответствующих изображений, после чего оказывается, что для нахождения изображений достаточно решить простое линейное алгебраическое уравнение (или систему таких уравнений). Затем остается восстановить оригиналы по найденным изображениям. Для успешного применения методов операционного исчисления студенту нужно уметь свободно применять теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями и хорошо знать изображения основных функций. Для этого рекомендуем составить таблицу соответствия операций и таблицу преобразования Лапласа и выучить их наизусть.

Вопросы для самопроверки

I. Дайте определение преобразования Лапласа. Что называется изображением и оригиналом?

2 Могут ли две различные непрерывные функции иметь одно и то же изображение?

3. Еслии, то какое изображение имеет af₁(t)+bf₂(t) (а, b-постоянные)? Докажите свойство линейности изображения.

4. Если , то какое изображение имеет e^-αtf(t)? Докажите теорему смещения.

5. Если (f(t)=0 приt≤0), то какое изображение имеет f(t—1\), ti>Ql Докажите теорему запаздывания.

6. Если , то какое изображение имеет f(at)? Докажите теорему подобия и найдите изображения функций sin at и cos at, считая известными изображения функций sint и cos t (a>0).

7. Докажите теорему о дифференцировании оригинала. Если , то какие изображения имеютf '(t), f''(t), f'''(t) [f '(t), f''(t), f'''(t) существуют при всех t>0]?

8. Если , то какое изображение имеет? Докажите теорему об интегрировании оригинала. Найдите с помощью этой теоремы изображение функции sin at.

9. Если , то какие оригиналы соответствуют F'(p), F"(p), F'"(p)? Докажите теорему о дифференцировании изображения. Найдите с помощью этой теоремы изображение функцииtⁿе^αt, считая известным изображение функции е^αt.

10. Еслии, то какое изображение имеет? Докажите теорему свертывания, о

I1. Изложите операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем. Приведите примеры.

После изучения тем XX—XXII выполните контрольную работу 11.