1. Скалярное и векторное поле. Градиент скалярного поля. Циркуляция, поток, дивергенция и ротор векторного поля

Литература. [5], гл. VII, §12; [4], гл. VIII, §15; гл. XV, §1 от «Замечания», № 2 (п. 2), §5 (определение потока векторного поля), §7 (определение вихря или ротора векторного поля), §8 (определение дивергенции векторного поля), упр. 9—19; [5], §12, задачи 2371—2374, 2388, 2391, 2394; [9], ч. II, гл. II, § 6.

Пример 1. Найти поток векторного поля F=x²_i+x_j+xzk через верхнюю сторону поверхности а, являющейся частью параболоида вращения у=z²+x², расположенной в первом октанте между плоскостями у=0 и у =1 (рис. 4).

Решение. Выбор стороны на поверхности σ равносилен выбору направления нормального вектора n в любой ее точке; для верхней стороны σ угол (n, z) между n и осью Оz удовлетворяет условию 0≤(n, z)≤π/2, т.е. cos(n, z)≥0. Согласно условиям,

Переходя в правой части равенства (1) от поверхностных интегралов к двойным, получаем

где D_yz, D_zx, D_xy — проекции поверхности о соответственно на плоскости уОz, хОz, хОу.

В первом интеграле мы положили х²=у—z², а в третьем (из уравнения параболоида). Знаки же перед двойными интегралами определены из того, что cos (n, х)≥0, cos (n, у)≤0, cos(n, z)≥0.

Вычислим двойные интегралы:

Подставляя найденные значения интегралов в формулу (2), полу« чаем

П = 4/15— 1/3 + 2/15= 1/15.

Замечание. Знак cos(n, z) в данной задаче определяется тем, что берется верхняя сторона поверхности σ, а при определении знаков cos (n, x) и cos(n, y) мы исходим из наглядных соображений (рис. 4). Правильность выбора знаков можно проверить с помощью формулы

определяющей единичный нормальный вектор n к поверхности φ(х, у, z)=0. В данном случае φ=x²-y²+z²=0, следовательно,

,

откуда

По условию задачи, z≥0 и cos(n, z)≥0, поэтому в последней формуле, а значит, и в формуле, определяющей n, следует взять знак « + ». Но тогда

так как, по условию задачи, x≥0, и

Вопросы для самопроверки

1. Что называется скалярным полем, поверхностями и линиями уровня скалярного поля?

2. Что называется векторным полем? Дайте определение векторных линий и напишите их дифференциальные уравнения.

3. Что называется линейным интегралом векторного поля? Что такое циркуляция векторного поля? Приведите пример ее вычисления.

4. Что называется потоком векторного поля? Напишите формулу для его вычисления. Приведите пример на применение этой формулы.

5. Что называется ротором векторного поля? Приведите пример его вычисления.

6. Что называется дивергенцией векторного поля? Приведите пример на ее вычисление.