1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1 — 10. Даны векторы а(a1; а2; а3), b(b1; b2; b3), c(c1; с2; с3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы а, Ь, с образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

11—20. Даны координаты вершин пирамиды A₁A₂A₃A₄. Найти 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄; 3) угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃ 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A₁A₂ 7) уравнение плоскости A₁A₂A₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃. Сделать чертеж

21. Уравнение одной из сторон квадрата х+3у—5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(—1; 0)—точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

22. Даны уравнения одной из сторон ромба х—3y+10= и одной из его диагоналей х+4у—4=0, диагонали ромба пересекаются в точке Р(0; 1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

23. Уравнения двух сторон параллелограмма x+2y+2=0 и x+y—4=0, а уравнение одной из его диагоналей х—2=0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.

24. Даны две вершины A(-3; 3) и B(5; —1) и точка C(4; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

25. Даны вершины А(—3; —2), В(4; —1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеция. Сделать чертеж.

26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х—4у+5=0 и 4х+у—9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0, 2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

27. Даны две вершины А (2; —2) и 5(3; —1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С. Сделать чертеж.

28. Даны уравнения двух высот треугольника х+у=4 и y=2x и одна из его вершин А(0; 2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

29. Даны уравнения двух медиан треугольника х—2у+1=0 и у—1=0 и одна из его вершин A(1; 3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х—2у—8=0 и 3х—2у—8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

31. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5; 0) относятся как 2:1.

32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(—1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х=-4.

33. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятся, как 5:4.

34. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4; 0), чем от точки В(1; 0),

35. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A(2; 0) и от прямой 2x+5=0 относятся, как 4:5.

36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3; 0) вдвое меньше расстояния от точки B(26; 0).

37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки A(0; 2) и от прямой y—4=0.

38. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности х2+у2=Ьк.

Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой A и точками фигуры Ф.

39. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки Л (2; 6) и от прямой y+2 = 0.

40. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки A(—4; 0) втрое дальше, чем от начала координат.

41—50. Линия задана уравнением r=r(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.