5. Геометрические приложения определенного интеграла

Литература. [4], гл. XII, § 1, упр. 1, 3, 5—11; § 2, упр. 13, 14, 17, 18; § 3, упр. 38-41, 43, 47; § 4, 5, упр. 20-23, 25, 32; § 6, упр 49, 51, 53, 56.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение несобственного интеграла первого рода (интеграла, у которого один или оба предела интегрирования бесконечны); укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов первого рода.

2. Дайте определение несобственного интеграла второго рода (интеграла от неограниченной функции). Укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов второго рода.

3. Сформулируйте правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра.

4. Что называется гамма-функцией? Выведите формулу Г(n)=(n—1)! Что называется бэта-функцией?

5. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.

6. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением в декоративной системе координат. Приведите примеры.

7. Выведите формулу для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений. Вычислите с ее помощью объем эллипсоида. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения Приведите примеры.

8. Выведите формулу для вычисления площади поверхности тела вращения.

После изучения тем XI и XII выполните контрольную работу 7.