1. Числовые ряды

Литература. [4], гл. XVI, § 1—6, упр. 8—18; § 7, 8, упр. 21— 29; § 18, 24; [11], гл. 9, § 9.1—9.7; [5], задачи 2485—2490.

Среди достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами наиболее эффективным является интегральный признак Коши. Поэтому если другие признаки не позволяют решить вопрос о сходимости или расходимости числового ряда с положительными членами, то следует прибегнуть к интегральному признаку Коши.

Пример. Исследовать на сходимость ряд : а) с помощью признака Даламбера; б) используя интегральный признак.

Решение, а) По условию , следовательно,

т. е. признак Даламбера не позволяет сделать заключения о сходимости или расходимости ряда.

б) Члены данного ряда положительны и убывают; в качестве функции f(x), о которой идет речь в интегральном признаке (см. § 6), возьмем функцию приx≥2; эта функция непрерывна и убывает, причем . Так как

то данный ряд расходится.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2. Докажите необходимый признак сходимости ряда.

3. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме первых его n членов, сложенной с суммой ряда, полученного из данного отбрасыванием этих n членов.

4. Докажите теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

5. Докажите признак Даламбера сходимости знакопеременных рядов. Приведите пример применения этого признака.

6. Докажите признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

7. Докажите интегральный признак сходимости ряда Коши. Приведите примеры применения этого признака.

8. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите прн. меры абсолютно и условно сходящихся рядов.

9. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применение этого признака. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.