2. Предел и непрерывность функций

Литература. [4], гл. II, § 1—5, упр. 1, 4, 6, 8—14, 18, 19; § 6, упр. 31—33, 35, 37—40; § 7, 8, упр. 41—44, 46, 48, 49; § 9, упр. 2, 3, 21—23, 25—30, 45, 47, 57, 59; § 10, 11, упр. 60—62; [5], гл. I, § 3.

Можно использовать также пособия [5], гл. I, § 3—5 и [9], ч. I, гл. VI, § 1—6.

Рекомендуется также прочитать из [11] гл. 2 и 3, где дано углубленное изложение материала.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?

3. Сформулируйте определение ограниченной функции. Докажите теорему об ограниченности функции, имеющей предел.

4. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

5. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?

6. Докажите основные теоремы о пределах функций.

7. Докажите, что («первый замечательный предел»).

8. Сформулируйте определение числа е («второй замечательный предел»).

9. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?

10. Сформулируйте теорему об области непрерывности элементарных функций.

11. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

12. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой.

13. Покажите, что при x→0 бесконечно малые sinx, arcsinx, tgx, arctgx попарно эквивалентны.

14. Пусть х→0. При каком значении а бесконечно малые asin²x и 1—cosх эквивалентны?

После изучения темы IV выполните контрольную работу 3.