5. Формула Тейлора

Литература. [4], гл. IV, § 6, 7, упр. 54, 56, 57, 59, 62, 65, 67.

Можно использовать также [5], гл. II, § 8; [9], ч. I, гл. VII, § 2, п. 1.

Формула Тейлора

очень важна как в теории, так и в практических приложениях. В частности, с ее помощью можно вычислить приближенные значения функции f(x), если известны значения этой функции и ее производных до n-го порядка в «начальной» точке х=а и если, кроме того, удается оценить остаточный член R_n. Если

то

с погрешностью α₀.

Для оценки погрешности формулы (3) важна форма записи остаточного члена R_n. Распространенной является запись остаточного члена в форме Лагранжа:

В этом случае оценка остаточного члена зависит от оценки (n+1)-й производной функции f(x). Так, например, если известно, что на отрезке, которому принадлежит рассматриваемое значение х₁

то

и, следовательно, в качестве (Хо можно взять любую величину, удовлетворяющую условию

Условие (2) можно использовать и для определения числа n, если погрешность α₀ задана заранее. Однако надо иметь в виду, что условие (2) определяет погрешность формулы (3). Если же приближенное значение f(x) вычислять по формуле (3) при конкретном числовом значении х, то может оказаться, что слагаемые в этой формуле (по крайней мере, некоторые из них) сами вычисляются приближенно. Тогда погрешность результата вычислений представляет собой сумму погрешностей слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой погрешностью α₀, которая является и погрешностью формулы, то общая погрешность значения, вычисленного по формуле (3), очевидно, равна β=(n+2)α₀. Если заранее задана точность результата α, то следует подобрать α₀ так, чтобы обеспечить выполнение неравенства β≤α или (n+2) α₀< α, откуда

При достаточно малом числе членов (по крайней мере, при n≤8) условие (7) заведомо выполняется, если положить

Обычно точность вычислений задается в виде α=10^-m. Условие (8) показывает, что α₀=10^-(m+1). Это значит, что вычисления надо производить с одним запасным знаком. Условие (2), которое можно использовать для определения числа n, в этом случае принимает вид

Замечание. Мы установили, что один запасной знак обеспечивает требуемую точность, по крайней мере, при n≤8. Легко заметить, что два запасных знака обеспечивают требуемую точность, по крайней мере, при n≤98. Но практически это верно и при значительно большем числе членов, так как значения функции и ее производных в точках х=а обычно бывают известны с абсолютной точностью. Поэтому два первых члена в формуле (3) абсолютно точны, следовательно, при одном запасном знаке требуемая точность обеспечивается более чем при десяти членах, при двух запасных знаках — более чем при ста членах и т. д.

Пример 1. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, вычислить е^0,1 и е^0,2 с точностью до 0,001.

Решение. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f(x)=е^x имеет вид

где 0 <θ< 1 (см. [4], гл. IV, § 7, п. 1). Отсюда получаем

Значения x₁=0,1 и х₂=0,2 принадлежат отрезку [0; 0,5], следовательно, 0<θx<0,5 и е^θx<е^0,5<2;

При заданной погрешности а условие (9) заведомо выполняется, если положим, что откуда

Запись условия, определяющего п, в виде (11) удобна, так как, вычисляя последовательно слагаемые в (10) по формулам

мы имеем возможность одновременно видеть, достигнута ли требуемая точность, т. е. выполнено ли условие (9).

Полагая а = 0,001, из (11) получаем условие

и при л:=0,1 имеем

Итак, е^0,1≈1,105. Здесь условие (13) оказалось выполненным при k=n+1=4, т. е. при n=3. Всего сохранено четыре слагаемых. Следовательно, одного запасного знака было достаточно. Аналогично можно найти е^0,2≈1,221 (здесь требуемая точность достигается при n=4).

Приближение функции многочленом по формуле Тейлора с геометрической точки зрения означает замену графика функции графиком соответствующего многочлена (см. [4], гл. IV, § 7, п. 2).

Вопросы для самопроверки

1. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Когда эту формулу называют формулой Маклорена и какой вид принимает она в этом случае?

2. Напишите формулы Маклорена для функций еx, sinx, cosx, ln(1+x).

3. Как используется формула Тейлора для вычисления приближенных значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.