1. Двойной интеграл

Литература. [4], гл. XIV, § 1,2, упр. 1,4—6; § 3, упр. 8—10, 14, 15, 17; § 4, упр. 24, 25, 32; § 5, 6, упр. 18—20, 28; § 7, упр. 43, 46, 48; § 8, упр. 51; § 9, упр. 59, 60; § 10, упр. 53, 54; [5], задачи 2122, 2123, 2142, 2197—2199.

Можно использовать также [9], ч. II, гл. I, § 1—6.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется двойным интегралом от функции }{х, у) по области D} Укажите его геометрический смысл.

2. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла. Докажите, что, гдеD=D₁+D₂.

3. Что называется двукратным интегралом от функции f(x, у) по области D? Как он вычисляется?

4. Докажите теорему о среднем для двойного интеграла, укажите ее геометрический смысл.

5. Выведите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью двукратного. Дайте геометрическое толкование формулы в случае неотрицательной подынтегральной функции.

6. Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.

7. Выведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

8. Каков геометрический смысл интеграла

где z=z(x, у) —функция, обладающая непрерывными частными производными в области D?

9. Каков механический смысл интеграла

где γ(х, y)≥0— непрерывная функция в области D?

10. Выведите формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры D, поверхностная плотность которой γ=γ(х, у).