Тема XIX. Ряды фурье. Интеграл фурье

Литература. [4], гл. XVII, § I—7, 10 (доказательство можно опустить), 11—16, упр. 1, 4—14.

Тригонометрические ряды играют важную роль в математике как аппарат изучения функций. Это объясняется тем, что для разложения в тригонометрический ряд функция не должна удовлетворять столь жестким требованиям, которые предъявляются к ней при разложении, например, в степенной ряд (в степенные ряды разлагаются даже не все бесконечно дифференцируемые функции). Велико значение тригонометрических рядов в приложениях, где их применяют при решении ряда задач математической физики (например, колебание струны, распространение теплоты), в электротехнике, метрологии и т. д. Чаще всего тригонометрические ряды используют при изучении периодических процессов, поэтому основное внимание в учебнике [4] уделено разложению в ряд Фурье периодических функций (с периодом 2я в § 1—4, с периодом 2/ в § 5); § 6 посвящен разложению в ряд Фурье непериодической функции.

При чтении § 10 полезно сопоставить требования, предъявляемые здесь к разлагаемой функции, с требованиями, которые предъявлялись к ней ранее (см. теорему в конце § 1).

В § 11 (чтение этого параграфа не является обязательным) студент получит представление о приближенном вычислении коэффициентов Фурье и найдет литературу, в которой эти вопросы изложены подробно.

Вопросы для самопроверки

1. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

2. Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Приведите примеры функций, удовлетворяющих и не удовлетворяющих этим условиям.

3. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для четных и нечетных функций.

4. Представьте ряд Фурье в комплексной форме.

5. Что называется интегралом Фурье?

6. Дайте определение преобразования Фурье и сформулируйте его основные свойства.

После изучения тем XVIII и XIX выполните контрольную работу 10.