4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям

Литература. [4], гл. XVI, § 17, 20—22, 26, 27 (замечание 2), упр. 85, 87, 89, 90, 97, 102, 103, 106, 113, 116, 117, 119, 123, 125, 127, 129—132; [11] гл.9, § 9.14.

Ряды часто используют для приближенного вычисления значений функции, интегралов и решения дифференциальных уравнений. Следует обратить внимание на замечание 3 § 7 гл. XVI пособия [4], в котором показано, как оценить погрешность, получающуюся при замене суммы знакочередующегося ряда его частичной суммой (при этом предполагается, что знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница); это замечание используется в § 17 и 21. В § 22 гл. XVI следует отметить два метода отыскания частного решения дифференциального уравнения по заданным начальным условиям в виде ряда Тейлора: последовательного дифференцирования и неопределенных коэффициентов. Сумму конечного числа членов этого ряда можно принять за приближенное решение дифференциального уравнения. Такой метод приближенного решения дифференциального уравнения может оказаться малоудобным, если трудно оценить точность вычислений или если требуется отыскивать слишком большое число членов ряда. В этом случае, а также в часто встречающихся на практике случаях, когда требуется найти числовые значения неизвестной функции, определяемой дифференциальным уравнением, только для нескольких определенных значений независимой переменной, применяют численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, некоторые из которых были рассмотрены ранее (методы Эйлера и Рунге—Кутта, тема XIII).

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

2. Дайте определение понятия равномерной сходимости последовательности функций. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

3. Сформулируйте признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости ряда.

4. Сформулируйте основные свойства равномерно сходящихся рядов.

5. Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

6. Выведите формулу для вычисления радиуса круга сходимости степенного ряда

7. Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

8. Разложите функцию y=sinx в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функции.

9. Разложите функцию у=е^x в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функции.

10. Разложите функцию у=(1+х) в степенной ряд и найдите промежуток сходимости полученного ряда.

11. Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции y=arctgx.

12. Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции у=ln(1+х).

13. Сформулируйте теорему о дифференцировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции y=cosx.

14. Выведите формулу Эйлера e^iy=cos y+i sin у, исходя из разложения в степенной ряд функции e^iy.

15. Приведите пример оценки точности вычисления суммы знакочередующегося ряда.

16. Приведите пример применения остаточного члена формулы Тейлора (в форме Лагранжа) к оценке точности вычисления с помощью степенного ряда.

17. Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью рядов. Приведите примеры.

18. Изложите метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Приведите пример.