Тема I. Векторная алгебра

1. Векторы

Литература. [1], гл. 1, § 1; [3], задачи 761, 764—777, 785, 786, 790, 792

При решении задач из [3] следует учесть особенности применяемой там терминологии. Пояснение всех терминов, используемых в задачах, можно найти во вступительной части каждого параграфа, к которому относится данная задача. Особое внимание следует уделить вступлениям к § 1, 2, 27, 29, 30.

2. Системы координат

Литература. [1], гл. 1, § 2, п. 1—3; [3], задачи 750—752, 778, 779, 1—25; 44—49, 86—115, 719—725, 735—742, 745, 746.

3. Скалярное произведение векторов

Литература. [1], гл. 1, §3, п. 1; [3], задачи 795—838, 748, 749, 753—760, 780—784, 53—58, 63—85.

4. Векторное и смешанное произведения векторов

Литература. [1], гл. 1, § 3, п. 2, 3, 12; [3], задачи 839— 849; [1], гл. 1, § 3, п. 4; [3], задачи 865—871.

5. Определители второго и третьего порядков

Литература. [1], гл. 1; § 3, п. 5—9; [3], задачи 1204— 1209, 1211—1251, 850—864, 116—126, 873—878.

6. Замена базиса и системы координат

Литература. [1], гл. 1, § 4, п. 1; [3], задачи 787—789, 793, 794; [1], гл. 1, § 4, п. 2, 3; [3], задачи 127—141.

7. Полярные, цилиндрические и сферические координаты

Литература. [1], гл. 1, § 2, п. 4, 5; [3], задачи 26—28, 42, 43.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется вектором и модулем вектора?

2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными?

3. Могут ли два вектора, имеющих равные модули, быть не равными? Если да, то чем они могут различаться?

4. Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной точки А пространства. Где находятся концы этих векторов?

5. Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций?

6. Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве?

7. В каком случае векторы называются линейно зависимыми и в каком — линейно независимыми?

8. Докажите, что линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над их компонентами (координатами) в некотором базисе.

9. Какой базис называется ортонормированным?

10. Как определяется декартова система координат?

11. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?

12. Выведите формулы деления отрезка в данном отношении

13. Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Выведите формулы, выражающие координаты центра тяжести треугольника через координаты его вершин.

14. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

15. Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат.

16. Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

17. Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

18. Что называется определителем (детерминантом) второго и третьего порядков, каковы их свойства и способы вычисления?

19. Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства (плоскости)?

20. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?

21. Каковы формулы преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости?

22. Опишите полярную, цилиндрическую и сферическую системы координат.