Тема II. Поверхности и линии

1. Уравнения в декартовых координатах

Литература. [1], гл. II, § 1, п. 1; [3], задачи 157—162, 174— 197, 885-887, 891—909; [1], гл. II, § 1, п. 5; [3], задача 910.

Рекомендуется разобрать пример 1 в § 10 и решение задачи 888 в [3], а также решения задач 37—39 и 41 в [9], ч. I.

2. Параметрические уравнения линий и поверхностей

Литература. [1], гл. II, § 1, п. 3; [3], задачи 204—207, 209; [1], гл. II, § 1, п. 4.

Рекомендуется разобрать решения задач 52—56 в [9], ч. I.

3. Алгебраические линии и поверхности

Литература. [1], гл. II, § 1, п. 2.

Исправьте опечатку в гл. II, §1, п. 2 пособия [1] (4-е изд., 1980; с. 42, строка 14-я снизу). Во втором определении написано: алгебраической поверхностью на плоскости... Следует читать: алгебраической линией на плоскости...

4. Плоскости и прямые

Литература. [1], гл. II, § 2, 3; [3], § 12—15, 38-43, 45.

5. Линии второго порядка

Литература. [1], гл. III, § 1, 2, п. 1; [3], задачи 385, 397, 398, 444, 460, 472, 509, 512. [1], гл. III, § 2, п. 2; [3], задачи 515, 516, 522, 526, 530, 532, 541, 542. [1], гл. III, § 2, п. 3; [3], задачи 585, 588, 591, 599, 600, 607.

6. Поверхности второго порядка

Литература. [1], гл. III, § 4; [3], задачи 1084, 1096, 1153, 1154, 1155, 1179.

7. Уравнение линии в полярных координатах

Литература. [4], гл. I, § 10, упр. 41—45; [3], задачи 163, 166, 208, 632.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяются в аналитической геометрии линии, поверхности и другие множества точек? Приведите примеры.

2. Как можно найти точку пересечения двух линий на плоскости, трех поверхностей, линии и поверхности? Приведите примеры.

3. Какова характерная особенность уравнения цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей? Приведите примеры.

4. Опишите параметрический способ задания линий и поверхностей. Приведите примеры.

5. Какие поверхности и линии называются алгебраическими? Приведите примеры.

6. Что называется порядком алгебраической линии и алгебраической поверхности? Приведите примеры.

7. Докажите, что плоскость является поверхностью первого порядка, а прямая на плоскости линией первого порядка.

8. Что называется направляющим вектором прямой и направляющими векторами плоскости?

9. Покажите, что вектор 1(—В, А) является направляющим вектором прямой Ах + Вх + С=0.

10. Как записываются параметрические уравнения прямой и плоскости?

11. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?

12. Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки, в пространстве и на плоскости?

13. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?

14. Как вычисляются углы между двумя прямыми (на плоскости и в пространстве), между двумя плоскостями, между плоскостью и прямой?

15. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (на плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости?

16. Каков геометрический смысл неравенства первой степени с двумя и тремя переменными?

17. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы?

18. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы и параболы?

19. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы?

20. Что называется асимптотами гиперболы?

21. Назовите поверхности второго порядка и напишите их канонические уравнения.

22. Приведите примеры уравнений линий в полярных координатах.

После изучения тем I, II выполните контрольную работу 1.