logo search
math

5. Операторы Гамильтона и Лапласа

Литература. [4], гл. XV, § 9, упр. 20, 43; [5], гл. VII, § 12, п 2°, 6°.

Дополнительные сведения по векторному анализу можно найти в пособии: Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1974, т. II, гл. IV, § 11.

Вопросы для самопроверки

  1. Выведите формулу Стокса и напишите ее в векторной форме.

  2. Выведите формулу Остроградского и напишите ее в векторной форме.

  3. Какое поле называется потенциальным? Что такое потенциал этого поля? В чем состоит необходимое и достаточное условие потенциальности поля?

  4. Напишите формулу для нахождения потенциала U(x, у, z) потенциального поля F=Xdx+Ydy+Zdz. Приведите пример применения этой формулы.

  5. Какое поле называется соленоидальным? Приведите пример.

  6. Какая функция называется гармонической? Приведите пример.

  7. Что такое оператор Гамильтона? Обоснуйте записи: .

  8. Докажите, что rot(grad u)=0. Запишите это равенство с помощью оператора Гамильтона.

  9. Что называется оператором Лапласа? Выведите формулу

  1. Что называется уравнением Лапласа? Как называется функция, удовлетворяющая этому уравнению?

  2. Запишите оператор Лапласа в цилиндрических и сферических координатах.

После изучения тем XV, XVI и XVII выполните контрольную работу 9.