logo search
math

2. Интерполяция

Литература. [4], гл. VII, § 9, упр. 17, 18; [5], гл. X, § 2, п. 2°, задачи 3131, 3135—3137; [9], ч. II, гл. IX, § 2, п. 1, задачи 1121—1125.

В первой части интерполяционной формулы Лагранжа

записан многочлен степени я относительной переменной х, график которого проходит, очевидно, через точки (x0; y0), (x1, y1),…,(хn; уn) (число этих точек равно n+1). Если в (1) положить n=1, то получим (после преобразований)

Это — многочлен первой степени (линейная функция) относительно х; графиком его является прямая, проходящая через точки (x0; y0) и (x1; y1). Если y=f(x) —данная функция, график которой проходит через те же точки, то приближенное равенство

выражает линейную интерполяцию функции y=f(x) на отрезке [х0, x1]. Геометрически она означает замену дуги графика функции y=f(x), заключенной между точками (х0, y0) и (x1; y1), хордой, соединяющей ее концы.

Формулу (3) используют при отыскании значения функции f(x) с помощью таблиц, когда нужное значение аргумента в таблице отсутствует и соответствующее значение f(х) приходится находить по двум «соседним» значениям.

Вопросы для самопроверки

  1. Что значит отделение корня уравнения f(x)=0 на данном отрезке. Какие способы отделения корней уравнения вы знаете? Опишите их, приведите примеры.

  2. В чем состоят методы хорд, касательных и комбинированный метод вычисления приближенного значения действительного корня уравнения f(x)=0?

  3. В чем состоит метод итераций вычисления приближенного значения действительного корня уравнения x = cp(x)?

  4. Каково условие сходимости процесса итераций для уравнений x=φ(x)?

  5. Запишите интерполяционный полином Лагранжа. В чем состоит смысл процесса интерполяции данной функции?

  6. Что называется линейной интерполяцией функции, каков ее геометрический смысл?

После изучения тем VII—IX выполните контрольную работу 5.